a) \(n^2+4n+3\)
Vì n là số lẻ nên n : 2 dư 1
Gọi n = 2k + 1
Thay n = 2k + 1 vào \(n^2+4n+3\)
Có : \(n^2+4n+3\) \(=n^2+3n+n+3\)
\(=n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)\)= ( n + 3 ) ( n + 1 ) (1)
Thay n = 2k + 1 vào (1)
=> (1) = \(\left(2k+1+3\right)\left(2k+1+1\right)\)
\(=\left(2k+4\right)\left(2k+2\right)\)
\(=2\left(k+2\right)2\left(k+1\right)=4\left(k+2\right)\left(k+1\right)\)
Xét: k + 2; k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp
=> \(\left(k+2\right)\left(k+1\right)\) \(⋮2\)
=> \(4\left(k+2\right)\left(k+1\right)⋮8\)
=> đpcm
a) Ta có:
\(n^2+4n+3\)
\(=n^2+n+3n+3\)
\(=n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)\)
\(=\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)
Mà n là số nguyên lẻ nên chia cho 2 dư 1 = 2k + 1 \(\left(k\in Z\right)\)
Do đó \(n^2+4n+3=\left(n+1\right)\left(n+3\right)=\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)=\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)=4\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
Mà \(\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.
Vậy \(n^3+4n+3=\left(n+1\right)\left(n+3\right)=4\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) chia hết cho 4; chi hết cho 2.
=> \(n^3+4n+3⋮4.2=8\)
Vậy ...
b) Ta có:
\(n^3+3n^2-n-3\)
\(=\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n-3\right)\)
Thay n = 2k +1, ta được:
\(\left(2k+1+1\right)\left(2k\right)\left(2k-2\right)\)
\(=2k.2.2.k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\)
\(=8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)
Mà k-1 ; k ; k+1 là 3 số nguyên liên tiếp, mà 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6.
\(\Rightarrow8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)⋮6.8=48\)
Vậy ...
b) \(n^3+3n^2-n-3\)
\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)
\(=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)\) (2)
Vì n là số tự nhiên lẻ nên n : 2 dư 1
Gọi n = 2p + 1
Thay n = 2p + 1 vào (2)
=> (2) \(=\left[\left(2p+1\right)^2-1\right]\left[\left(2p+1\right)+3\right]\)
\(=\left[4p^2+4p+1-1\right]\left[2p+1+3\right]\)
= \(\left[4p^2+4p\right]\left[2p+4\right]\)
\(\)\(=4p\left[p+1\right]2\left[p+2\right]\)
\(=8p\left(p+1\right)\left(p+2\right)\)
=> \(8p\left(p+1\right)\left(p+2\right)⋮16\)
hay (2) \(⋮16\) (3)
Ta xét tiếp:
TH1 : Vì n là số lẻ => n = 3p
=> (2) \(=\left[\left(3p\right)^2-1\right]\left[3p+3\right]\)
\(=\left[9p^2-1\right]\left[p+1\right]3\)
Ta thấy \(\left[9p^2-1\right]\left[p+1\right]3⋮3\)
TH2: Vì n là số lẻ => n = 3p + 1
=> (2)\(=\left[\left(3p+1\right)^2-1\right]\left[3p+1+3\right]\)
\(=\left[9p^2+6p+1-1\right]\left[3p+1+3\right]\)
\(=3\left[3p^2+2p\right]\left[3p+1+3\right]\)
Ta thấy \(3\left[3p^2+2p\right]\left[3p+1+3\right]⋮3\)
Qua 2TH
=> (2) \(⋮3\) (4)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\left(2\right)⋮48\)
=> đpcm