Do M là trung điểm AB \(\Rightarrow\) M có tọa độ \(M\left(-1;3\right)\)
G là trọng tâm tam giác ACM \(\Rightarrow\) G có tọa độ \(G\left(\dfrac{1}{3};3\right)\)
Gọi \(I\left(a;b\right)\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\left(a;b-6\right);\overrightarrow{BI}=\left(a+2;b\right);\overrightarrow{CI}=\left(a-2;b\right)\)
I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|\overrightarrow{AI}\right|=\left|\overrightarrow{BI}\right|\\\left|\overrightarrow{BI}\right|=\left|\overrightarrow{CI}\right|\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+\left(b-6\right)^2=\left(a+2\right)^2+b^2\\\left(a+2\right)^2+b^2=\left(a-2\right)^2+b^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(0;\dfrac{8}{3}\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{GI}=\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3}\right)\\\overrightarrow{GM}=\left(-\dfrac{4}{3};0\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{GI}.\overrightarrow{GM}=\left(-\dfrac{1}{3}\right).\left(-\dfrac{4}{3}\right)+\left(-\dfrac{1}{3}\right).0=\dfrac{4}{9}\ne0\)
\(\Rightarrow GI\) không vuông góc với \(GM\Rightarrow\) đề sai. Có lẽ do bạn ghi sai đề.