a) Ta có: DA//BC(hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)
\(\Leftrightarrow\widehat{DAB}+\widehat{ABC}=180^0\)(hai góc trong cùng phía bù nhau)
mà \(\widehat{DAB}=2\cdot\widehat{BAP}\)(AP là tia phân giác của \(\widehat{DAB}\))
và \(\widehat{ABC}=2\cdot\widehat{ABP}\)(BP là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))
nên \(2\cdot\widehat{BAP}+2\cdot\widehat{ABP}=180^0\)
\(\Leftrightarrow2\cdot\left(\widehat{BAP}+\widehat{ABP}\right)=180^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{BAP}+\widehat{ABP}=90^0\)
Xét ΔAPB có \(\widehat{BAP}+\widehat{ABP}=90^0\)(cmt)
nên ΔAPB vuông tại P(định lí tam giác vuông)
⇒AP⊥BP
Ta có: AB//CD(hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)
\(\Leftrightarrow\widehat{BAD}+\widehat{ADC}=180^0\)(hai góc trong cùng phía bù nhau)
mà \(\widehat{BAD}=2\cdot\widehat{DAQ}\)(AQ là tia phân giác của \(\widehat{BAD}\))
và \(\widehat{ADC}=2\cdot\widehat{ADQ}\)(DQ là tia phân giác của \(\widehat{ADC}\))
nên \(2\cdot\widehat{DAQ}+2\cdot\widehat{ADQ}=180^0\)
\(\Leftrightarrow2\cdot\left(\widehat{DAQ}+\widehat{ADQ}\right)=180^0\)
hay \(\widehat{DAQ}+\widehat{ADQ}=90^0\)
Xét ΔADQ có \(\widehat{DAQ}+\widehat{ADQ}=90^0\)(cmt)
nên ΔADQ vuông tại Q(định lí tam giác vuông)
⇒AQ⊥DQ
hay AP⊥DQ
Ta có: AP⊥DQ(cmt)
AP⊥PB(cmt)
Do đó: PB//DQ(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
b) Ta có: AB//CD(hai cạnh đối của hình bình hành ABCD)
\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}+\widehat{BCD}=180^0\)(hai góc trong cùng phía bù nhau)
mà \(\widehat{ABC}=2\cdot\widehat{CBN}\)(BN là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))
và \(\widehat{BCD}=2\cdot\widehat{BCN}\)(CN là tia phân giác của \(\widehat{BCD}\))
nên \(2\cdot\widehat{CBN}+2\cdot\widehat{BCN}=180^0\)
\(\Leftrightarrow2\cdot\left(\widehat{CBN}+\widehat{BCN}\right)=180^0\)
hay \(\widehat{CBN}+\widehat{BCN}=90^0\)
Xét ΔBCN có \(\widehat{CBN}+\widehat{BCN}=90^0\)(cmt)
nên ΔBCN vuông tại N(định lí tam giác vuông)
⇒BN⊥CN
⇒BP⊥MN
Ta có: BP⊥AP(cmt)
BP⊥MN(cmt)
Do đó: AP//MN(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
hay QP//MN(Q∈AP)
Ta có: PB//DQ(cmt)
nên PN//QM(N∈PB và M∈DQ)
Xét tứ giác MNPQ có PN//QM(cmt) và QP//MN(cmt)
nên MNPQ là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành MNPQ có \(\widehat{QPN}=90^0\)(QP⊥PN)
nên MNPQ là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)