a) ta có : \(2\left(m-1\right)x+\left(m-2\right)y=2\) \(\Leftrightarrow2mx-2x+my-2y-2=0\)
\(\Leftrightarrow m\left(2x+y\right)+\left(-2x-2y-2\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+y=0\\-2x-2y-2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-2\end{matrix}\right.\) ta có điểm \(m\left(1;-2\right)\) này không phụ thuộc vào giá trị của \(m\) (đpcm)
b) điều kiện \(m\ne2\)
ta đưa \(\left(d\right)\) về dạng như trường học : \(\left(d\right):y=\dfrac{-2\left(m-1\right)}{m-2}+\dfrac{2}{m-2}\) ta có \(\left(d\right)\) cắt \(Ox\) tại : \(A\left(\dfrac{1}{m-1};0\right)\) ; cắt \(Oy\) tại \(B\left(0;\dfrac{2}{m-2}\right)\)
áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
\(\dfrac{1}{AH^2}=\left(m-1\right)^2+\left(m-2\right)^2\Rightarrow AH=\sqrt{\dfrac{1}{\left(m-1\right)^2+\left(m-2\right)^2}}\)
để \(AH\) lớn nhất \(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+\left(m-2\right)^2\) nhỏ nhất
\(\Leftrightarrow2m^2-6m+5\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow2\left(m^2-3m+\dfrac{9}{4}\right)+\dfrac{1}{2}\) nhỏ nhất
\(\Leftrightarrow2\left(m-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\)
vậy \(m=\dfrac{3}{2}\)