Lời giải:
a. Gọi $I(x_0,y_0)$ là điểm cố định mà $(d)$ luôn đi qua. Ta có:
$y_0=(m+1)x_0-m+2, \forall m$
$m(x_0-1)+(x_0+2-y_0)=0, \forall m$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0-1=0\\ x_0+2-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_0=1\\ y_0=3\end{matrix}\right.\)
Vậy $I(1,3)$ là điểm cố định mà $d$ luôn đi qua với mọi $m$
b.
$A(0,a)$ là giao của $(d)$ với trục $Oy$
$B(b,0)$ là giao của $(d)$ với trục $Ox$
Nếu $m=-1$ thì $y=3$
Khi đó, khoảng cách từ $O$ đến $(d)$ là $3$
Nếu $m\neq -1$ thì:
$a=(m+1).0-m+2=-m+2$
$b=\frac{m-2}{m+1}$
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì khoảng cách từ $O$ đến $(d)$ là $h$ thì:
$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$
$=\frac{1}{(m-2)^2}+\frac{(m+1)^2}{(m-2)^2}=\frac{m^2+2m+2}{(m-2)^2}$
$\Rightarrow h=\frac{|m-2|}{\sqrt{m^2+2m+2}}$