Bài 1: Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

1. Khái niệm hàm số

Nếu đại lượng \(y\) phụ thuộc vào đại lượng thay đổi \(x\) sao cho với mỗi giá trị của \(x\), ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của \(y\) thì \(y\) được gọi là hàm số của \(x\), \(x\) được gọi là biến số.

• Hàm số có thể cho bằng bảng hoặc bằng công thức.

Ví dụ:

a) \(y\) là hàm số của \(x\) được cho bằng bảng:

b) \(y\) là hàm số của \(x\) được cho bằng công thức: \(y=2x+3\), \(y=\dfrac{1}{3x-1}\), \(y=\sqrt{\dfrac{4}{x}+2x^2-1}\),...

• Khi hàm số được cho bằng công thức \(y=f\left(x\right)\), ta hiểu rằng biến số \(x\) chỉ lấy các giá trị mà tại đó \(f\left(x\right)\) xác định.

Ví dụ: Hàm số \(y=2x^2-3x+1\) xác định với mọi số thực \(x\); Hàm số \(y=\dfrac{4}{x}\) xác định khi \(x\ne0\); Hàm số \(y=\sqrt{4-x^2}\) xác định khi \(4-x^2\ge0\), ứng với \(-2\le x\le2\);...

• Khi \(y\) là hàm số của \(x\), ta có thể viết \(y=f\left(x\right),y=h\left(x\right),...\)

Ví dụ: Hàm số \(y=2-3x\) có thể được viết \(y=f\left(x\right)=2-3x\).

• Ta kí hiệu \(f\left(a\right)\) là giá trị của hàm số \(y=f\left(x\right)\) khi \(x=a\). Muốn tính giá trị của \(f\left(a\right)\), ta thay \(x=a\) vào hàm số rồi tính toán biểu thức thu được.

Ví dụ: Với hàm số \(y=g\left(x\right)=\sqrt{4-x}\), ta hiểu \(g\left(1\right)\) là giá trị của hàm số trên khi \(x=1\). Khi đó, ta có: \(g\left(1\right)=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\).

• Khi \(x\) thay đổi mà giá trị của \(y\) không đổi thì \(y\) được gọi là hàm hằng.

2. Đồ thị hàm số

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng \(\left(x;f\left(x\right)\right)\) trên mặt phẳng tọa độ gọi là đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\).

• Muốn biết một điểm \(A\left(x_0;y_0\right)\) có thuộc đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) hay không, ta cần kiểm tra mệnh đề \(y_0=f\left(x_0\right)\). Nếu mệnh đề đúng thì \(A\) thuộc đồ thị hàm số.

Ví dụ: Điểm \(A\left(1;-2\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y=2x-4\) do \(-2=2.1-4\).

3. Hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định với mọi \(x\in R\).

1. Nếu giá trị của biến \(x\) tăng lên mà giá trị tương ứng của \(f\left(x\right)\) cũng tăng lên thì hàm số \(y=f\left(x\right)\) được gọi là hàm số đồng biến trên \(R\) (gọi tắt là hàm số đồng biến).
2. Nếu giá trị của biến \(x\) tăng lên mà giá trị tương ứng của \(f\left(x\right)\) giảm đi thì hàm số \(y=f\left(x\right)\) được gọi là hàm số nghịch biến trên \(R\) (gọi tắt là hàm số nghịch biến).

Nói cách khác: với \(x_1,x_2\in R\)

• Nếu \(x_1< x_2\) mà \(f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\) thì hàm số đồng biến trên \(R\).
• Nếu \(x_1< x_2\) mà \(f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\) thì hàm số nghịch biến trên \(R\).

Lưu ý: Các khẳng định trên vẫn đúng với hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên tập \(D\subset R\).

Ví dụ 1: Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=2x-3\). Hàm số xác định với mọi \(x\in R\).

Với \(x_1,x_2\in R\), nếu \(x_1< x_2\) thì \(2x_1< 2x_2\Rightarrow2x_1-3< 2x_2-3\Rightarrow f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\).

Vậy hàm số trên đồng biến trên \(R\).

 Ví dụ 2: Cho hàm số \(y=g\left(x\right)=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}x\). Hàm số xác định với mọi \(x\in R\).

Với \(x_1,x_2\in R\), nếu \(x_1< x_2\) thì \(\dfrac{1}{2}x_1< \dfrac{1}{2}x_2\Rightarrow-\dfrac{1}{2}x_1>-\dfrac{1}{2}x_2\Rightarrow\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}x_1>\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\). 

Vậy hàm số nghịch biến trên \(R\).