Question

Cho a, b, c là các số nguyên dương:

a) Biết rằng a<b, CM: \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)

b) Đặt \(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) , CM A ko phải là số nguyên

CÁC BẠN GIÚP MÌNH VỚI MÌNH ĐANG CẦN GẤP !!!!!!!!!! HELP ME !!!!!!!!!

Answer 1

a) Ta có: a<b

\(\Leftrightarrow ac< bc\)

\(\Leftrightarrow ac+ab< bc+ab\)

\(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)< b\left(a+c\right)\)

hay \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)(đpcm)

b) Ta có: \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)

Cộng vế theo vế, ta được:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

hay \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)(1)

Ta có: \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng vế theo vế, ta được:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c+b+c+a+b}{a+b+c}=2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(1< A< 2\)

hay A không phải là số nguyên(đpcm)