Ta có:
\(a^3+b^3+c^3=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)+\left(a+b+c\right)\)
mà \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)
tương tự có: \(b^3-b=\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\)
và \(c^3-c=\left(c-1\right)c\left(c+1\right)\)
Xét \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\):
(1) nếu a = 2 => \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮2\)
nếu a ≠ 2 => a là số lẻ => a + 1⋮ 2 hoặc a - 1\(⋮\) 2
Vậy \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮2\)
(2) nếu a = 3 => \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮3\)
nếu a ≠ 3 => a + 1⋮ 3 hoặc a - 1 ⋮ 3
Vậy \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮3\)
Từ (1) và (2), suy ra \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮6\)
Chứng minh tương tự có:
\(\left(b-1\right)b\left(b+1\right)⋮6\) và \(\left(c-1\right)c\left(c+1\right)⋮6\)
=> \(\left(a^3-a\right)⋮6\); \(\left(b^3-b\right)⋮6\); \(\left(c^3-c\right)⋮6\)
và a + b + c ⋮ 6 (giả thuyết)
=> \(\left(a^3+b^3+c^3\right)⋮6\)
Xét hiệu : (a3 + b3 + c3) - (a + b + c) = a3 + b3 + c3 - a - b - c = (a3 - a) + (b3 - b) + (c3 - c) = a(a2 - 1) + b(b2 - 1) + c(c2 - 1) = a(a - 1)(a + 1) + b(b - 1)(b + 1) + c(c - 1)(c + 1)
a(a - 1)(a + 1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 2 và 3
Mà (2,3) = 1
=> a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 6
Tương tự b(b - 1)(b + 1) chia hết cho 6
c(c -1)(c + 1) chia hết cho 6
=>(a3 + b3 + c3) - (a + b + c) chia hết cho 6
Mà a + b + c chia hết cho 6
=>a3 + b3 + c3 chia hết cho 6(đpcm)