Question

Bài 10 : Chứng minh với mọi số nguyên n thì A = n^4 - 2n^3 - n^2 + 2n chia hết cho 24
Giúp mk vs ạ mk cần gấp ạ

Answer 1

Ta có : \(A=n^4-2n^3-n^2+2n\)

=> \(A=n\left(n^3-2n^2-n+2\right)\)

=> \(A=n\left(n^2\left(n-2\right)-\left(n-2\right)\right)\)

=> \(A=n\left(n^2-1\right)\left(n-2\right)\)

=> \(A=\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)n\)

=> A là tích của 4 số nguyên liên tiếp .

=> A là tích của hai số nguyên chẵn và lẻ .

Nên \(n\left(n-2\right)\) hoặc \(\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) sẽ chia hết cho 2 . 4 = 8 vì hai số chẵn liên tiếp nên có một số chia hết cho 4 .

Và \(\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) hoặc \(n\left(n-2\right)\) sẽ chia hết cho 1. 3 = 3 vì hai số lẻ liên tiếp sẽ có một số chia hết cho 3 .

=> \(A=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n+1\right)⋮3.8=24\)

Vậy ...

Answer 2

Và trong tích 4 số tự nhiên liên tiếp chắc chắn chia hết cho 3 .

=> \(n\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)\) sẽ chia hết cho cả 3 và 8

=> \(n\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)\) sẽ chia hết cho 24 .

Vậy ...