Bài 8: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

\(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}\Rightarrow\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{b^2}{9}=\dfrac{c^2}{16}\Rightarrow\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{b^2}{9}=\dfrac{2c^2}{32}=\dfrac{a^2-b^2+2c^2}{4-9+32}=\dfrac{108}{27}=4.\)

\(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}\Rightarrow\dfrac{a}{10}=\dfrac{b}{15};\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{4}\Rightarrow\dfrac{b}{15}=\dfrac{c}{12}.\)

Do đó : \(\dfrac{a}{10}=\dfrac{b}{15}=\dfrac{c}{12}=\dfrac{a-b+c}{10-15+12}=\dfrac{-49}{7}=-7.\)

\(\Rightarrow a=-70;b=-105;c=-84.\)

c

Gọi a,b,c lần lượt là số tờ giấy bạc loại 2000đ,5000đ và 10000đ.(a,b,c \(\in N^{\cdot}\))

Theo đề bài,ta có \(2000a=5000b=10000c\) và \(a+b+c=16\)

\(\Rightarrow\dfrac{2000a}{10000}=\dfrac{5000b}{10000}=\dfrac{10000c}{10000}\) và \(a+b+c=16\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{1}\) và \(a+b+c=16\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau,ta có:

\(\dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{1}=\dfrac{a+b+c}{5+2+1}=\dfrac{16}{8}=2\)

Với\(\dfrac{a}{5}=2\Rightarrow a=10\)

\(\dfrac{b}{2}=2\Rightarrow b=4\)

\(\dfrac{c}{1}=2\Rightarrow c=2\)

Vậy loại 2000đ mua được 10 tờ

loại 5000đ mua được 4 tờ

loại 10000đ mua được 2 tờ

B là đáp án đúng.

Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\) thì \(a=b.k;c=d.k\)

Ta có:

\(\dfrac{a}{3.a+b}=\dfrac{b.k}{3.b.k+b}=\dfrac{b.k}{b.\left(3k+1\right)}=\dfrac{k}{3k+1}\left(1\right)\\ \dfrac{c}{3.c+d}=\dfrac{d.k}{3.d.k+d}=\dfrac{d.k}{d.\left(3k+1\right)}=\dfrac{k}{3k+1}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{a}{3.a+b}=\dfrac{c}{3c+d}\)

xy = 96 => x = 96/y => 2/x = y/48

=> y/48 = 3/y => y = 12 hoặc -12

=> x = 8 hoặc -8

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{bz-cy}{a}=\dfrac{cx-az}{b}=\dfrac{ay-bx}{c}\)

\(=\dfrac{a\left(bz-cy\right)}{a^2}=\dfrac{b\left(cx-az\right)}{b^2}=\dfrac{c\left(ay-bx\right)}{c^2}\)

\(=\dfrac{abz-acy}{a^2}=\dfrac{bcx-abz}{b^2}=\dfrac{acy-bcx}{c^2}\)

\(=\dfrac{abz-acy+bcx-abz+acy-bcx}{a^2+b^2+c^2}\)

\(=\dfrac{0}{a^2+b^2+c^2}=0\)

\(\Rightarrow abz-acy=bcx-abz=acy-bcx\)

\(\Rightarrow a\left(bz-cy\right)=b\left(cx-az\right)=c\left(ay-bx\right)\)

\(\Rightarrow bz-cy=cx-az=ay-bx\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}bx=cy\\cx=az\\ay=bx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{c}=\dfrac{y}{b}\\\dfrac{x}{a}=\dfrac{z}{c}\\\dfrac{y}{b}=\dfrac{x}{a}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)

Vậy \(x:y:z=a:b:c\)

a, Ta có :\(\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\dfrac{ab}{cd}=k\\ \Rightarrow a=bk;c=dk\)

Thay a = bk và c = dk vào VT ta được:

\(\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\dfrac{\left(bk\right)^2-b^2}{\left(dk\right)^2-d^2}=\dfrac{b^2\left(k^2-1\right)}{d^2\left(k^2-1\right)}=\dfrac{b^2}{d^2}\)

Thay a = bk và c = dk vào VP ta được :

\(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{bk\times b}{dk\times d}=\dfrac{b^2}{d^2}\)

=> VT = VP

Vậy \(\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\dfrac{ab}{cd}\)

b, Ta có : \(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\dfrac{ab}{cd}=k\)

Thay a = bk và c = dk vào VT ta được:

Thay a = bk và c = dk vào VP ta được :

\(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{bk\times b}{dk\times d}=\dfrac{b^2}{d^2}\)

=> VT = VP

Vậy \(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\dfrac{ab}{cd}\)

Ta có:

\(a^2\) \(=b.c\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}\)

Từ \(\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}\Rightarrow\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}\)

Vậy \(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}\)