Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt AB ở N và cắt AC ở M.
Gọi H là giao điểm của BM và CN.
Khẳng định nào dưới đây là sai?
\(\widehat{BMC}\) và \(\widehat{BNC}\) đều là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat{BMC}=\widehat{BNC}=90^o\).
Có \(CM\perp AB\) và \(BN\perp AC\) nên H là trực tâm tam giác ABC.
Tứ giác AMHN có \(\widehat{M}=\widehat{N}=90^o\) nên là tứ giác nội tiếp.
Gọi giao điểm của tiếp tuyến tại N của đường tròn tâm O với AH là K.
Ta chứng minh K trung điểm của AH.
Có \(\widehat{ANK}=\widehat{xNC}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{NC}\).
mà \(\widehat{NAH}=\widehat{NBC}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{NC}\).
Suy ra: \(\widehat{NAK}=\widehat{ANK}\).
Vì vật tam giác NAK cân tại K hay KA = KN. (1)
Có \(\widehat{NAK}+\widehat{AHN}=90^o\)
và \(\widehat{ANK}+\widehat{KNH}=90^o\)
suy ra: \(\widehat{HKN}=\widehat{KNH}\) .
Vậy tam giác KNH cân. Vì vậy KN = KH. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: KA = KN = KH.
Hay K là trung điểm của AH.
Nếu MN vuông góc với AH thì MN // BC. Điều này chỉ xảy ra khi tam giác ABC cân tại A.
