Chọn B

Đặt u = ln ( x + 1 ) d v = d x

⇒ d u = 1 x + 1 d x v = x + 1

Khi đó 

∫ 1 2 ln ( x + 1 ) d x = ( x + 1 ) ln ( x + 1 ) 1 2 - ∫ 1 2 d x = 3 ln 3 - 2 ln 2 - 1

Vậy a=3; b=-2; c=-1 ⇒ S = a + b + c = 0

Đáp án A

Đáp án A.

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=ln\left(2+x^2\right)\\dv=xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{2x}{x^2+2}dx\\v=\frac{x^2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\frac{x^2}{2}.ln\left(2+x^2\right)|^1_0-\int\limits^1_0\frac{x^3}{x^2+2}dx=\frac{1}{2}ln3-I_1\)

\(I_1=\int\limits^1_0\frac{x^3}{x^2+2}dx=\int\limits^1_0\left(x-\frac{2x}{x^2+2}\right)dx=\left(\frac{x^2}{2}-ln\left(x^2+2\right)\right)|^1_0=\frac{1}{2}-ln3+ln2\)

\(\Rightarrow I=\frac{3}{2}ln3-ln2-\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow a+b+c=\frac{3}{2}-1-\frac{1}{2}=0\)

Đáp án D.

Phân tích: 1 x 3 + x 2 = 1 x 2 x + 1 = A x + B x 2 + C x + 1 = A x ( x + 1 ) + B ( x + 1 ) + C x 2 x 2 ( x + 1 )  

→ 1 x 2 ( x 1 ) = A + C x 2 + A + B x + B x 2 x + 1 .

Đồng nhất hệ số, ta có hệ phương trình:

A + C = 0 A + B = 0 B = 1 ⇔ A = - 1 B = 1 C = 1 . Vậy 1 x 3 + x 2 = 1 x 2 ( x + 1 ) = - 1 x + 1 x 2 + 1 x + 1  

Lời giải chi tiết:

Ta có ∫ 2 3 1 x 3 + x 2 d x = ∫ 2 3 1 x 2 - 1 x + 1 x + 1 d x = ln x + 1 x - 1 x 2 3 = 3 ln 2 - 2 ln 3 + 1 6 .

Vậy a = - 2 , b = 3 , c = 1 6 → S = a + b + c = - 2 + 3 + 1 6 = 7 6 .

Đáp án D.

Đáp án C