thật ra nó là lớp 7 đấy nhưng mình nghĩ lớp 8 mới giỏi mói giải đc

Giả sử \(a^2+1\) và \(b^2+1\) cùng chia hết cho số nguyên tố p

\(\Rightarrow a^2-b^2⋮p\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)⋮p\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b⋮p\\a+b⋮p\end{matrix}\right.\).

+) Nếu \(a-b⋮p\) thì ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)-\left(a-b\right)^2⋮p\Rightarrow\left(ab+1\right)^2⋮p\Rightarrow ab+1⋮p\) (vô lí do (a - b, ab + 1) = 1)

+) Nếu \(a+b⋮p\) thì tương tự ta có \(ab-1⋮p\). (vô lí)

Do đó \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\).

Giả sử \(\left(a+b\right)^2+\left(ab-1\right)^2=c^2\) với \(c\in\mathbb{N*}\)

Khi đó ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=c^2\).

Mà \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\) nên theo bổ đề về số chính phương, ta có \(a^2+1\) và \(b^2+1\) là các số chính phương.

Đặt \(a^2+1=d^2(d\in\mathbb{N*})\Rightarrow (d-a)(d+a)=1\Rightarrow d=1;a=0\), vô lí.

Vậy ....

Gọi UCLN của a-c và b-c là d
 
mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1
Do đó a-c và b-c là hai số chính phương. Đặt a-c = p2; b-c = q2
( p; q là các số nguyên)
c2 = p2q2
c = pq
a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương

tích mik nhé

Cho các số nguyên dương a;b;c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn: (a+b)c=ab.

Xét tổng M=a+b có phải là số chính phương không ? Vì sao?
 

\

Gọi UCLN của a-c và b-c là d
 
mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1
Do đó a-c và b-c là hai số chính phương. Đặt a-c = p2; b-c = q2
( p; q là các số nguyên)
c2 = p2q2
c = pq
a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương

Gọi UCLN của a‐c và b‐c là d

mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1
Do đó a‐c và b‐c là hai số chính phương. Đặt a‐c = p2; b‐c = q2
﴾ p; q là các số nguyên﴿
c2 = p2q2
c = pq
a+b = ﴾a‐ c﴿ + ﴾b – c﴿ + 2c = ﴾ p+ q﴿2 là số chính phương

Để cho \(a+b+2\sqrt{ab+c^2}\)là xô nguyên tô thì trươc hêt \(\sqrt{ab+c^2}\)phải là xô nguyên đã.

\(\Rightarrow ab+c^2=d^2\)

\(\Leftrightarrow ab=\left(c+d\right)\left(c-d\right)\)

\(\Rightarrow\)a, b phải cùng tinh chẵn lẻ.

Ta thây rằng a, b cùng tinh chẵn lẻ thì

\(a+b+2\sqrt{ab+c^2}\) chia hêt cho 2

Lại co: \(a+b+2\sqrt{ab+c^2}>2\)

Vậy \(a+b+2\sqrt{ab+c^2}\) không thể là xô nguyên tô được.

Bài trên chỗ \(\left(c+d\right)\left(c-d\right)\)xửa lại thành \(\left(c+d\right)\left(d-c\right)\)lỡ tay bâm nhầm.

Để cho \(a+b+2\sqrt{ab+c^2}\) là xô nguyên tố thì trước hết \(\sqrt{ab+c^2}\)phải là xô nguyên đã.

\(\Rightarrow ab+c^2=d^2\)

\(\Leftrightarrow ab=\left(c+d\right)\left(d-c\right)\)

\(\Rightarrow a,b\)phải cùng tính chẵn lẻ.

Ta thấy rằng \(a,b\)cùng tính chẵn lẻ thì:

\(a+b+2\sqrt{ab+c^2}\)chia hết cho 2.

Lại có: \(a+b+2\sqrt{ab+c^2}>2\)

Vậy \(a+b+2\sqrt{ab+c^2}\)không thể xô nguyên tố được.

*)\(b^2+c^2=a^2\)

\(\Leftrightarrow b^2=a^2-c^2\)

\(\Leftrightarrow b=\sqrt{a^2-c^2}\)

Ta có: \(\sqrt{a^2-c^2}>c\Leftrightarrow a^2-c^2>c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2>2c^2\)(luôn đúng)

=> c<b

*) \(a^2=b^2+c^2\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c=3\\b=4\\a=5\end{cases}\Leftrightarrow c=b+1}\)