Phân tích đa thức thành nhân tử có dạng (a+b)² + c trong đó c là 2013 và vận dụng cách tìm GTNN đã học (Thầy giáo Đặng Trọng Sơn)

thầy chỉ hướng dẫn cho e như thế thôi e tự tìm cách giải mới giỏi lên được

phân tich M=(2x+y)² + (x-1)² - 6(2x+y) + 2024

   M= ( 2x + y - 3 )² + ( x- 1 )² + 2015

M >= 2015

Dấu = xảy ra khi 2x + y - 3 = 0 và x-1 =0

suy ra x = y = 1

vậy GTNN M= 2015 khi và chi khi x=y=1

M = x ^2 - x + 1/4 + y ^2 + 6y + 9 + 3/4

M =( x - 1/4 ) ^2 + ( y + 3 ) ^2 + 3/4

M > = 3/4 với mọi x; y

Dấu bằng <=> x = 1/4 và y = -3

Vậy GTNN của M bằng 3/4 <=> x = 1/4; y = 3

M=x^2-x+1/4+y^2+6y+9+3/4

M=(x-1/4)^2+(y+3)^2+3/4

M >= 3/4 với mọi x; y

Dấu bằng <=> x = 1/4 và y = -3

Vậy GTNN của M bằng 3/4 <=> x = 1/4; y = 3

\(A=x^2+y^2+xy-6x-6y+2\)

\(\Rightarrow4A=4x^2+4y^2+4xy-24x-24y+8\)

           \(=\left(4x^2+4xy+y^2\right)+3y^2-24x-24y+8\)

            \(=\left[\left(2x+y\right)^2-12\left(2x+y\right)+36\right]+3y^2-12y-28\)

           \(=\left(2x+y-6\right)^2+3\left(y^2-4y+4\right)-40\)

            \(=\left(2x+y-6\right)^2+3\left(y-2\right)^2-40\ge-40\)

\(\Rightarrow4A\ge-40\)

\(\Rightarrow A\ge-10\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x+y-6=0\\y-2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=6-y\\y=2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}}}\)

Vậy \(A_{min}=-10\Leftrightarrow x=y=2\)

P/S: cách giải trên gọi là cách chung riêng !

\(D=x^2+4y^2-2xy-6y-10x+10y+32\)

\(=x^2-2.x\left(y+5\right)+\left(y+5\right)^2-\left(y+5\right)^2+4y^2+4y+32\)

\(=\left(x-y-5\right)^2-y^2-10y-25+4y^2+4y+32\)

\(=\left(x-y-5\right)^2+3y^2-6y+7\)

\(=\left(x-y-5\right)^2+3\left(y^2-2y+1\right)+4\)

\(=\left(x-y-5\right)^2+3\left(y-1\right)^2+4\)

Ta thấy : \(\left(x-y-5\right)^2+3\left(y-1\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow D\ge4\forall x,y\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y-5=0\\y-1=0\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=1\end{cases}}\)

Vậy : min \(D=4\) tại \(x=6,y=1\)

\(A=\left(4x^2+y^2+4xy\right)-12x-6y+9+x^2-2y+1\)

\(=\left(2x+y\right)^2-6\left(2x+y\right)+9+\left(x-1\right)^2\)

\(=\left(2x+y-3\right)^2+\left(x-1\right)^2\ge0\) có GTNN là \(0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=1;y=1\)

A = ( 4x^2 + y^2 +9 + 4xy -6y -12x)+(x^2 -2x+1)

   = (2x+y-3)^2 +(x-1)^2

Ta có: (2x+y-3)^2 +(x-1)^2 >=0 với mọi x,y

Dấu "=" xảy ra khi: 2x+y-3 =0 và x-1=0

                             2.1 + y-3 =0 và x=1

                             -1+y=0 và x=1

                             y=1 và x=1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 0 tại x=1 và y=1

b: Tham khảo:

a: \(P=x^2-5x+\dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{4}=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}\ge-\dfrac{25}{4}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=5/2