Lời giải:

Ta có: \(a^3+b^3=2\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)=2>0\)

Mà \(a^2-ab+b^2=(a-\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2\geq 0\), do đó \(a+b>0\)

Xét hiệu:

\(4(a^3+b^3)-(a+b)^3=4(a^3+b^3)-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)\)

\(=3(a^3+b^3-a^2b-ab^2)\)

\(=3[a^2(a-b)-b^2(a-b)]=3(a^2-b^2)(a-b)=3(a+b)(a-b)^2\)

Do \(a+b>0\Rightarrow 3(a+b)(a-b)^2\geq 0\Rightarrow 4(a^3+b^3)-(a+b)^3\geq 0\)

\(\Rightarrow 4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3\Leftrightarrow (a+b)^3\leq 8\)

\(\Leftrightarrow a+b\leq 2\)

Ta có đpcm.

Giả sử tồn tại hai số a,b sao cho \(a^3+b^3=2\) và \(a+b>2\)

Khi đó, đặt \(a=x+y\) , \(b=x-y\) 

Ta có \(a+b=x+y+x-y=2x>2\Rightarrow x>1\)

\(a^3+b^3=\left(x+y\right)^3+\left(x-y\right)^3=2x^3+6xy^2\)

Do x > 1 nên \(2x^3>2;6xy^2\ge0\). Suy ra \(a^3+b^3>2\) , trái với giả thiết đề bài.

Vậy ta có đpcm

Có \(a+1+1\ge3\sqrt[3]{a}\)

     \(b+1+1\ge3\sqrt[3]{b}\)

\(\Rightarrow a+b+1+1+1+1\ge3\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\)

\(\Rightarrow3\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\le6\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\le2\)

"=" tại a=b=1

Giả sử a+b>2

=>\(a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)>\left(a+b\right)^3=2^3=8\)

=>\(2+3ab\left(a+b\right)>8\)

=>\(3ab\left(a+b\right)>6\)

=>\(ab\left(a+b\right)>2\)

=>\(ab\left(a+b\right)>a^3+b^3\)

=>\(0>a^3+b^3-ab\left(a+b\right)\)

=>\(0>\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\)

=>\(0>\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\)

=>\(0>\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\) 

Vì a+b>2 (điều đã giả sử) và (a-b)²\(\ge0\) <=>\(\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

=>\(0>\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\) là vô lý 

=>\(a+b\le2\)