a, trường hợp 1 :

a<b ta có :

ab+an<ab+bn

a.(b+n) < b(a+n)

a/b<a+n/b+

th2 bạn làm tương tử nhé thay dấu lớn thui phần b y hệt a nhé 100% đấy hum nay mình vừa học xong 

\(a,\dfrac{a}{b}>1\Leftrightarrow a>1\cdot b=b\\ \dfrac{a}{b}< 1\Leftrightarrow a< 1\cdot b=b\\ b,\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\left(b+1\right)}{b\left(b+1\right)}=\dfrac{ab+a}{b^2+b}\\ \dfrac{a+1}{b+1}=\dfrac{b\left(a+1\right)}{b\left(b+1\right)}=\dfrac{ab+b}{b^2+b}\\ \forall a=b\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+1}{b+1}\\ \forall a>b\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}>\dfrac{a+1}{b+1}\\ \forall a< b\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+1}{b+1}\)

\(c,\forall a>b\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}-1=\dfrac{a-b}{b}>\dfrac{a-b}{b+n}\left(b< b+n;a-b>0\right)=\dfrac{a+n}{b+n}-1\\ \Leftrightarrow\dfrac{a}{b}>\dfrac{a+n}{b+n}\\ \forall a< b\Leftrightarrow1-\dfrac{a}{b}=\dfrac{b-a}{b}>\dfrac{b-a}{b+n}\left(b< b+n;b-a>0\right)=1-\dfrac{a+n}{b+n}\\ \Leftrightarrow1-\dfrac{a}{b}>1-\dfrac{a+n}{b+n}\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}>\dfrac{a+n}{b+n}\\ \forall a=b\Leftrightarrow\dfrac{a+n}{b+n}=\dfrac{a}{b}\left(=1\right)\)

Xét tích:

a(b + n) = ab + an       (1)

b(a + n) = ab + bn       (2)

TH1: nếu a < b

=> an < bn                 (3)

Từ (1),(2),(3) => a(b + n) < b(a + n) => \(\frac{a}{b}< \frac{a+n}{b+n}\)

TH2: nếu a > b

=> an > bn                 (4)

Từ (1),(2),(4) => a(b + n) > b(a + n) => \(\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\)

TH3: nếu a = b thì \(\frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n}=1\)

\(\frac{a}{b}=\frac{a\left(b+n\right)}{b\left(b+n\right)}=\frac{ab+an}{b\left(b+n\right)}\)

\(\frac{a+n}{b+n}=\frac{b\left(a+n\right)}{b\left(b+n\right)}=\frac{ab+bn}{b\left(b+n\right)}\)

TH1: a = b

=> ab+an = ab+bn

=> \(\frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n}\)

TH2: a > b

=> ab+an > ab+bn

=> \(\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\)

TH3: a < b

=> ab+an < ab+bn

=> \(\frac{a}{b}

a/b=ab+an/b^2+bn

a+n/b+n=ab+bn/b^2+bn

xảy ra ba trường hợp

a<b thi a/b<a+n/b+n

a=b thì.....=...........

a>b thì ....>...........

Vì ko cho điều kiện của a nên mình phải xét các trường hợp của a

Xét các trường hợp:

- a>b:

ta có: a.(b+n)=ab + an (n thuộc N*)

         b.(a+n)=ab + bn

=> ab+an > ab + bn ((vì a>b>0)

=> a.(b+n)>b(a+n) 

Hay a/b > a+n/b+n

- a=b:

ta có:

a.(b+n)=ab+an (n thuộc N*)

b.(a+n)=ab+bn

Mà a=b nên an=bn => ab+an=ab+bn 

hay a.(b+n)=b.(a+n)

=> a/b= a+n/b+n 

- 0<a<b:

ta có:

a(b+n)=ab + an (n thuộc N*)

b(a+n)= ab + bn

=> ab + an < ab + bn (do 0<a<b)

hay a(b+n) < b(a+n)

=> a/b < a+n/b+n

- a=0:

a/b=0

a+n/b+n= n/b+n > 0 (vì n thuộc N*)

=> a/b < a+n/b+n

- a<0

ta có:

a(b+n)= ba + an

b(a+n)= ab + bn

ba + an < ab + bn ( vì an<0; bn > 0)

hay a(b+n) < b(a+n)

=> a/b < a+n/b+n

Bạn tự kết luận nha