\(M=\frac{4x+5}{2x+1}=\frac{4x+2+3}{2x+1}=\frac{2\left(2x+1\right)+3}{2x+1}=\frac{2\left(2x+1\right)}{2x+1}+\frac{3}{2x+1}=2+\frac{3}{2x+1}\)

Để M là số nguyên thì \(\frac{3}{2x+1}\) là số nguyên

=>3 chia hết cho 2x+1

=>2x+1\(\inƯ\left(3\right)\)

=>2x+1\(\in\left\{-3;-1;1;3\right\}\)

=>2x\(\in\left\{-4;-2;0;2\right\}\)

=>x\(\in\left\{-2;-1;0;1\right\}\)

Bài 1 : 

a, \(A=\frac{2x^2-4x+8}{x^3+8}=\frac{2\left(x^2-2x+4\right)}{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}=\frac{2}{x+2}\)

b, Ta có : \(\left|x\right|=2\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-2\end{cases}}\)

TH1 : Thay x = 2 vào biểu thức trên ta được : 

\(\frac{2}{2+2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

TH2 : Thay x = -2 vào biểu thức trên ta được : 

\(\frac{2}{-2+2}=\frac{2}{0}\)vô lí 

c, ta có A = 2 hay \(\frac{2}{x+2}=2\)ĐK : \(x\ne-2\)

\(\Rightarrow2x+4=2\Leftrightarrow2x=-2\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy với x = -1 thì A = 2 

d, Ta có A < 0 hay \(\frac{2}{x+2}< 0\)

\(\Rightarrow x+2< 0\)do 2 > 0 

\(\Leftrightarrow x< -2\)

Vậy với A < 0 thì x < -2 

e, Để A nhận giá trị nguyên khi \(x+2\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)

2.

ĐKXĐ : \(x\ne\pm2\)

a. \(B=\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\frac{\left(x-2\right)^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{x-2}{x+2}\)

b. | x - 1 | = 2 <=>\(\hept{\begin{cases}x-1=2\\x-1=-2\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}x=3\\x=-1\end{cases}}\)

Với x = 3 thì \(B=\frac{3-2}{3+2}=\frac{1}{5}\)

Với x = - 1 thì \(B=\frac{-1-2}{-1+2}=-3\)

Vậy với | x - 1 | = 2 thì B đạt được 2 giá trị là B = 1/5 hoặc B = - 3

c. \(B=\frac{x-2}{x+2}=-1\)<=>\(-\left(x-2\right)=x+2\)

<=> \(-x+2=x+2\)<=>\(-x=x\)<=>\(x=0\)

d. \(B=\frac{x-2}{x+2}< 1\)<=>\(x-2< x+2\)luôn đúng \(\forall\)x\(\ne\pm2\)

e. \(B=\frac{x-2}{x+2}=\frac{x+2-4}{x+2}=1-\frac{4}{x+2}\)

Để B nguyên thì 4/x+2 nguyên => x + 2\(\in\){ - 4 ; - 2 ; - 1 ; 1 ; 2 ; 4 }

=> x \(\in\){ - 6 ; - 4 ; - 3 ; - 1 ; 0 ; 2 }

THANKS NHA!

\(\frac{2x^2+1}{x+2}=\frac{2x^2+4x-4x-8+9}{x+2}=\frac{2x\left(x+2\right)-4\left(x+2\right)+9}{x+2}=2x-4+\frac{9}{x+2}\)

\(\Rightarrow x+2\inƯ\left(9\right)\Rightarrow x+2\in\left\{-9;-3;-1;1;3;9\right\}\Rightarrow x\in\left\{-11;-5;-3;-1;1;7\right\}\)

Cách 2:

\(\frac{2x^2+1}{x+2}=\frac{2\left(x^2-2^2\right)+9}{x+2}=\frac{2\left(x-2\right)\left(x+2\right)+9}{x+2}=2\left(x-1\right)+\frac{9}{x+2}\)

\(\Rightarrow x+2\inƯ\left(9\right)\Rightarrow x+2\in\left\{-9;-3;-1;1;3;9\right\}\Rightarrow x\in\left\{-11;-5;-3;-1;1;7\right\}\)

=> (2*x^3+2*x+1)/x

=> 2*x^3/(x+2)+4*x^2/(x+2)+1/(x+2)

=> 2*(x^2+1)