Lời giải:

Ta có công thức quen thuộc:

\(a_n=1+2+3+..+n=\frac{n(n+1)}{2}\)

\(a_{n+1}=1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)

Do đó:

\(a_n+a_{n+1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(n+n+2)}{2}=(n+1)(n+1)=(n+1)^2\) là số chính phương với mọi số tự nhiên $n\geq 1$

Vậy $a_n+a_{n+1}$ là số chính phương.

\(a_n+a_{n+1}\)

\(=\left(1+2+3+...+n\right)+\left(1+2+3+...+n+1\right)\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\)

\(=\frac{n^2+n}{2}+\frac{n^2+3n+2}{2}\)

\(=\frac{2n^2+4n+2}{2}\)

\(=n^2+2n+1=\left(n+1\right)^2\) là số chính phương

a,Ta có : a_n+1=1+2+....+n+(n+1)

\(\Rightarrow a_{n+1}=\frac{\left(n+2\right)\left[n:1+1\right]}{2}=\frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}{2}\)

b,Ta lại có :\(\Rightarrow a=\frac{\left(n+1\right)\left[\left(n-1\right):1+1\right]}{2}=\frac{\left(n+1\right)\left(n\right)}{2}\)

\(\Rightarrow a_n+a_{n+1}=\frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}{2}+\frac{\left(n+1\right)n}{2}\)

\(\Rightarrow a_n+a_{n+1}=\frac{\left(n+1\right)\left[\left(n+2\right)+n\right]}{2}=\frac{\left(n+1\right)\left(2n+2\right)}{2}\)

\(\Rightarrow a_n+a_{n+1}=\left(n+1\right)^2\)

=>ĐPCM

Thay : a(n) = x

Ta có : (x - 1 + x +1)/ (x+x-2) = 2x / (2x-2) = 2x / 2(x-1) = x/(x-1)

Gọi UCLN(x ; x-1) = d

=> x chia hết cho d; (x-1) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d => d = 1

=> x/(x-1) là phân số tối giản => dpcm