Để chứng minh rằng biểu thức abc(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) nhỏ hơn hoặc bằng 8 khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM (bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho a, b, c ta có: (a + b + c)/3 >= (abc)^(1/3)

Vì a + b + c = 3, ta có: 3/3 >= (abc)^(1/3) 1 >= (abc)^(1/3) 1^3 >= abc 1 >= abc

Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 8.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho (1 + a^2), (1 + b^2), (1 + c^2) ta có: (1 + a^2 + 1 + b^2 + 1 + c^2)/3 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3)

Vì a^2 + b^2 + c^2 >= 3 (bằng với bất đẳng thức Tchebyshev), ta có: (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3) (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 >= (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 1 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3) 1^3 >= (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) 1 >= (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2)

Từ hai bất đẳng thức trên, ta có: abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 1 * 1 = 1

Do đó, khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3, ta có abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 1, và vì 1 nhỏ hơn hoặc bằng 8, nên ta có: abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 8.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng biểu thức abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) nhỏ hơn hoặc bằng 8 khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3.

3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương. 
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết 
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương 

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0 
mà abc > 0 => bc > 0 
Nếu b < 0, c < 0: 
=> b + c < 0 
Từ gt: a + b + c < 0 
=> b + c > - a 
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0) 
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac 
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2 
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2) 
ta có: 
b^2 + c^2 >= 0 
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0 
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0 
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý) 
trái gt: ab + bc + ca > 0 

Vậy b > 0 và c >0 
=> cả 3 số a, b, c > 0

1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)

                   \(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)

                    \(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)

Mà abc=1

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)     

sai rồi. sửa a+b=a+1, b+c=b+1, a+c=c+1 nha, thông cảm, nhìn sai đề

xét vế trái ta có (nhân vào )

a/a + a/b + a/c + b/a + b/b + b/c + c/a + c/b +c/c  >= 9

<=> 3 + ( a/b +b/a ) + (b/c + c/b )+ (c/a +a/c) >=9

áp dụng bất đẳng thức phụ : a/b + b/a >=2 , b/c + c/b >= 2 , a/c +c/a >=2 ta được 

3 +2 +2+2 >=9

=> đpcm

ta CM bất đẳng thức phụ a/b +b/a >=2 nhé !

vì a/b +b/a >=2 nên ta xét hiệu:

a/b + b/c - 2 >= 0

ta quy đồng mẫu các phân số :

<=> a² /ab + b²/ab - 2ab/ab >= 0

<=> (a² + b² - 2ab) / ab = (a-b)² /ab >=0

dấu = xảy ra khi a-b =0 <=> a=b

nên a/b + b/a - 2 >=0

<=> a/b + b/a >= 2  dấu = xảy ra khi a=b  

giúp mk nha mk gấp lắm

a) Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)

b) Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:

\(\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c=6\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)