Gọi d=ƯCLN(4x+5;3x+4)

=>12x+15-12x-16 chia hết cho d

=>-1 chia hết cho d

=>d=1

=>PSTG

Gọi \(ƯCLN\left(3n+5;3n+4\right)=d\)

Ta có :

\(3n+5\text{⋮}d\)

\(3n+4\text{⋮}d\)

\(\Rightarrow\left(3n+5\right)-\left(3n+4\right)\text{⋮}d\)

\(1\text{⋮}d\)

\(d\)lớn nhất \(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\frac{3n+5}{3n+4}\)là phân số tối giản

\(A=\frac{3x+2}{5x+3}\)

Gọi d là ƯC(3x+2 ; 5x+3)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3x+2⋮d\\5x+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}5\left(3x+2\right)⋮d\\3\left(5x+3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}15x+10⋮d\\15x+9⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(15x+10\right)-\left(15x+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow15x+10-15x-9⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Leftrightarrow d=1\)

=> ƯCLN( 3x+2 ; 5x+3 ) = 1

=> \(A=\frac{3x+2}{5x+3}\)tối giản ( đpcm )

\(B=\frac{2x+3}{4x+8}\)

Gọi d là ƯC( 2x+3;4x+8 }

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x+3⋮d\\4x+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(2x+3\right)⋮d\\4x+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4x+6⋮d\\4x+8⋮d\end{cases}}\)  

\(\Rightarrow\left(4x+8\right)-\left(4x+6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow4x+8-4x-6⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\Leftrightarrow d=\left\{1;2\right\}\)

Với d = 1 => \(2x+3⋮d\)

Với d = 2 => \(2x+3⋮̸d\)vì \(3⋮̸2\)

=> d = 1

=> ƯCLN( 2x+3 ; 4x+8 ) = 1

=> \(B=\frac{2x+3}{4x+8}\)tối giản ( đpcm )

Gọi d là ƯCLN(7n+4,5n+3)

\(\Rightarrow\)7n+4 \(⋮\)d và 5n+3 \(⋮\) d

\(\Rightarrow\)5(7n+4)-7(5n+3) \(⋮\) d

\(\Rightarrow\)35n+20-35n-21 \(⋮\) d

\(\Rightarrow\)-1 chia hết cho d hay d = -1

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{7n+4}{5n+3}\)là phân số tối giản vì có ƯCLN là -1

Để CM \(\frac{n+5}{n+4}\) là phân số tối giản thì ta cần chứng minh n + 5 và n + 4 là nguyên tố cùng nhau

Gọi d là ước chung lớn nhất của n + 5 và n + 4

=> n + 5 và n + 4 chia hết cho d

=> (n + 5) - (n + 4) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d => d = 1

Vì ước chung lớn nhất của n + 5 và n + 4 là 1 => n + 5 và n + 4 là nguyên tố cùng nhau

=> \(\frac{n+5}{n+4}\) là phân số tối giản (đpcm)

Thank you very much!

Gọi ƯC (3n+4;2n+3)=d

ta có :3n+4 chia hết d

         2n+3 chia hết d

=>(2n+3) - (3n+4) chia hết d

=>3x(2n+3) - 2x(3n+4) chia hết d

=>6n+9 - 6n + 8 chia hết d

=>6n-6n + 9 - 8 chia hết d

=>0+1 chia hết d

=>1 chia hết d

=>1=d

vì ƯC (3n+4;2n+3)=1 nên  3n+4/2n+3 là phân số tối giản