b/ Để A là số tự nhiên => 63 chia hết cho 3n + 1

=> 3n + 1 ∈ Ư(63)             (1)

Mà n ∈ N => 3n + 1 ∈ N   (2)

Từ (1) và (2) => 3n + 1 ∈ { 1 ; 7 }

- Nếu 3n + 1 = 1 => 3n = 0 => n = 0

- Nếu 3n + 1 = 7 => 3n = 6 => n = 2

n=2

n=0

phần A. 
63=3.3.7 
A rút gọn được khi 63 và 3n+1 có chung ít nhất một ước 3 hoặc 7 ; nói cách khác để phân số rút gọn được thì 3n+1 phải chia hết cho 3 hoặc 7 
Gọi a thuộc N 
TH1: 3n+1=3a=> n = a - 1/3 loại vì n thuộc N 
TH2: 3n+1=7a=> 3n+1|7 <=> 3(n-2)+7|7 <=>n-2|7=>n-2=0,7,14,28...=>n=2,9,16,30.... 

phần B 
A=63/3n+1 là số tự nhiên khi 63 là ước của 3n+1 => 3n+1=3,7,9,21,63 => n= 2, 20 (loại các trường hợp cho n khác số tự nhiên)

a)\(A=\frac{8n+193}{4n+3}=\frac{2.\left(4n+3\right)+187}{4n+3}=2+\frac{187}{4n+3}\)\(\Rightarrow187⋮4n+3\Rightarrow4n+3\inƯ\left(187\right)=\left\{11;17;187\right\}\)

+) 4n + 3 = 11  => n = 2

+) 4n +3 = 187 => n = 46

+) 4n + 3 = 17 => 4n = 14 ( loại )

Vậy n = 2 và 46

b)  Gọi ƯCLN ( 8n + 193; 4n + 3) = d

=>   ( 8n + 193; 4n + 3 ) : d => (8n + 193) - 2.(4n+3)

 =>   ( 8n+193 ) - ( 8n + 6 ) : d

=> 187 : d mà A là phân số tối giản => A \(\ne\) 187

=> n \(\ne\)  11k + 2 (k \(∈\) N)

=>  n \(\ne\)  17m + 12 (m  \(∈\) N )

c) Với n = 156 => A = 77/19

           n = 165 => A =  89/39 

           n = 167 => A = 139/61

Để \(\dfrac{8n+193}{4n+3}\)có giá trị là số tự nhiên thì :

8n+193 chia hết cho 4n+3

hay 2(4n+3)+187 chia hết cho 4n+3

Vì 2(4n+3) chia hết cho 4n+3

=> 187 chia hết cho 4n+3

=> 4n+3 thuộc Ư(187)

ta có bảng:

Mà n là STN nên n =46 hoặc n=2

\(A=\frac{63}{3n+1}\)

để A là số tự nhiên => \(63⋮3n+1\Rightarrow3n+1\inƯ\left(63\right)\)

Ư(63)= { \(\pm1;\pm3;\pm7;\pm9;\pm21;\pm63\)

=> 3n = { -2;0;-4;2;-8;6;-10;8;-22;20;-64;62 }

=> n = { 0; 2 }

Để A là số tự nhiên thì \(63⋮3n+1\)

\(\Leftrightarrow3n+1\inƯ\left(63\right)\)

\(\Leftrightarrow3n+1\in\left\{1;3;7;9;21;63;-1;-3;-7;-9;-21;-63\right\}\)

Để A là số tự nhiên => 3n + 1 là số tự nhiên khác 0

\(\Leftrightarrow3n+1\in\left\{1;3;7;9;21;63\right\}\)

\(\Leftrightarrow3n\in\left\{0;2;6;8;20;62\right\}\)

\(\Leftrightarrow n\in\left\{0;\frac{2}{3};2;\frac{8}{3};\frac{20}{3};\frac{62}{3}\right\}\)

Vậy với \(n\in\left\{0;\frac{2}{3};2;\frac{8}{3};\frac{20}{3};\frac{62}{3}\right\}\) thì A là số tự nhiên

a)Với 3x-2 > hoặc = 0 =>x> hoặc = 2/3

=>M=|3x-2|+4x+1=3x-2+4x+1=7x-1

Với 3x-2 <0 =>x<2/3

=>M=|3x-2|+4x+1=2-3x+4x+1=x+3

b)M=18

=>|3x-2|+4x+1=18

TH1:x> hoặc = 2/3

=>7x-1=18

=>7x=19

=>x=19/7 (nhận)

TH2: x<2/3

=>x+3=18

=>x=15 (loại)