Lời giải:

$n(n+1)\vdots 2$ do là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp

$\Rightarrow n^2+n+1=n(n+1)+1$ lẻ

$\Rightarrow n^2+n+1\not\vdots 4(1)$

Mặt khác:

Xét số dư của $n$ khi chia cho $5$

Nếu $n=5k+1$ với $k$ tự nhiên thì:

$n^2+n+1=(5k+1)^2+5k+1+1=25k^2+15k+3=5(5k^2+3k)+3\not\vdots 5$

Nếu $n=5k+2$ với $k$ tự nhiên thì:

$n^2+n+1=(5k+2)^2+5k+2+1=25k^2+25k+7=5(5k^2+5k+1)+2\not\vdots 5$

Nếu $n=5k+3$ với $k$ tự nhiên thì:

$n^2+n+1=(5k+3)^2+5k+3+1=25k^2+35k+13=5(5k^2+7k+2)+3\not\vdots 5$

Nếu $n=5k+4$ với $k$ tự nhiên thì:

$n^2+n+1=(5k+4)^2+5k+4+1=25k^2+45k+21=5(5k^2+9k+4)+1\not\vdots 5$

Vậy $n^2+n+1\not\vdots 5$

Vậy.......

Có 90 số hạng nên ghép từng cặp 2 số ta có

A= (2+2²)+(2³+2⁴)...+(2⁸⁹+2⁹⁰)

= 2(1+2)+2³(1+2)+...+2⁸⁹(1+2)

= 2.3+2².3+...+2⁸⁹.3 chia hết cho 3

ghép từng cặp 3 số

A= (2+2²+2³)+....+(2⁸⁸+2⁸⁹+2⁹⁰)

= 2(1+2+2²)+....+2⁸⁸(1+2+2²)

= 2.7+....+2⁸⁸.7 chia hết cho 7

mà (3;7)=1 => A chia hết cho 3.7=21

1)

a)\(B=3+3^3+3^5+3^7+.....+3^{1991}\)

\(\Leftrightarrow B=3\left(1+3^2+3^4+3^6+.....+3^{1990}\right)\)

Vì \(3\left(1+3^2+3^4+3^6+.....+3^{1990}\right)\)chia hết cho 3 nên \(B⋮3\)

\(B=3+3^3+3^5+3^7+.....+3^{1991}\)

\(\Leftrightarrow B=\left(3+3^3+3^5+3^7\right)+.....+\left(3^{1988}+3^{1989}+3^{1990}+3^{1991}\right)\)

\(\Leftrightarrow B=3\left(1+3^2+3^4+3^6\right)+.....+3^{1988}\left(1+3^2+3^4+3^6\right)\)

\(\Leftrightarrow B=3.820+.....+3^{1988}.820\)

\(\Leftrightarrow B=3.20.41+.....+3^{1988}.20.41\)

Vì \(3.20.41+.....+3^{1988}.20.41\) chia hết cho 41 nên \(B⋮41\)

Ta thấy: a²-1=(a-1).(a+1)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3

=>p=2k+1

=>(a-1).(a+1)=(2k+1-1).(2k+1+1)=2k.(2k+2)

=2k.2.(k+1)

=4.k.(k+1)

Vì k và k+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp

=>k.(k+1) chia hết cho 2

=>4.(k).(k+1) chia hết cho 8

=>a²-1 chia hết cho 8(1)

Lại có:

Vì a là số nguyên tố lớn hơn 3

=>a không chia hết cho 3

=>a² chia 3 dư 1

=>a²-1 chia hết cho 3(2)

Từ (1) và (2) ta thây:

a²-1 chia hết cho 8 và 3

mà (8,3)=1

=>a²-1 chia hết cho 8.3

=>a²-1 chia hết cho 24

Vậy a²-1 chia hết cho 24

k cho mk nha\\\^-^

a) Ta có :

\(x^2-2x+1=6y^2-2x+2\)

\(\Leftrightarrow x^2=6y^2+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-1=6y^2\)

Mà \(6y^2⋮2\)

\(\Leftrightarrow6y^2=\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮2\)

Mặt khác : \(\left(x-1\right)+\left(x+1\right)=2x⋮2\)

\(\Leftrightarrow x-1;x+1\)cùng chẵn

\(\Rightarrow x-1;x+1\)là hai số chẵn liên tiếp

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮8\)

\(\Leftrightarrow6y^2⋮8\)

\(\Leftrightarrow3y^2⋮4\)

\(\Leftrightarrow y^2⋮4\)

\(\Leftrightarrow y⋮2\)

Do \(y\in P\):

\(\Rightarrow y=2\)

\(\Rightarrow x=5\)

Vậy........

b) Xét hiệu : \(A=9\left(7x+4y\right)-2\left(13x+18y\right)\)

\(\Rightarrow A=63x+36y-26x-36y\)

\(\Rightarrow A=37x\)

\(\Rightarrow A⋮37\)

Vì \(7x+4y⋮37\)

\(\Rightarrow9\left(7x+4y\right)⋮37\)

Mà \(A⋮37\)

\(\Rightarrow2\left(13x+18y\right)⋮37\)

Do 2 và 37 nguyên tố cùng nhau :

\(\Rightarrow13x+18y⋮37\)

Vậy...................

Gọi 2 số đó là 7q + b và 7k + b (Vì 2 số này có cùng số dư)

Theo bài ra, ta có hiệu:

(7q + b) - (7k + b)

= (7q - 7k) + (b - b)

= 7(q - k) chia hết cho 7 hay 2 số có cùng số dư khi chia cho 7 thì chia hết cho 7

đúng lắm !!! tớ cho cậu đó

S = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷

= (1 + 2) + (2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵) + (2⁶ + 2⁷)

= (1 + 2) + 2²(1 + 2) + 2⁴(1 + 2) + 2⁶(1 + 2)

= (1 + 2)(1 + 2² + 2⁴ + 2⁶) 

= 3(1 + 2² + 2⁴ + 2⁶) \(⋮3\)(ĐPCM)

2S = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ 

S = (1+2 ) + (2² + 2³ ) + (2⁴ + 2⁵ ) + (2⁶ +2⁷)

S = 3 + 2²(1+2) + 2⁴(1+2) + 2⁶(1+2)

S = 3+2².3 + 2⁴.3 + 2⁶ .3 

S = 3(1+2² + 2⁴ + 2⁶ ) \(⋮\) 3

=> đpcm

Vì 1+2=3 \(⋮\)3 =>(1+2)+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷=>S \(⋮\)3

Vậy S \(⋮\)9

Nhớ k cho mình nhé !