để tìm gtnn áp dụng bđt côsi

để tìm gtln 

Lại có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)Tương tự \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2;\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)

Ta có: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=1+\frac{b}{a}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+1\)

\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge9\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

\(\frac{1}{a^4\left(1+b\right)\left(1+c\right)}=\frac{1}{\frac{a^4\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{abc}}=\frac{\frac{1}{a^3}}{\left(\frac{1}{b}+1\right)\left(\frac{1}{c}+1\right)}\)

Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\), tương tự suy ra:

\(A=\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\)

Theo BĐT AM-GM ta có: \(\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}\ge\frac{3x}{4}\)

Tương tự suy ra \(A+\frac{3}{4}+\frac{x+y+z}{4}\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{x+y+z}{2}-\frac{3}{4}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c=1

VỚi các số thực: a,b,c >0 thỏa a+b+c=1. Chứng minh rằng: \(\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\le2\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\)

Help me

Ta có:

\(1=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{27}\)

\(X=\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a}\right)\left(1+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3b}\right)\left(1+\frac{1}{3c}+\frac{1}{3c}+\frac{1}{3c}\right)\)

\(\ge\frac{4}{\sqrt[4]{27a^3}}.\frac{4}{\sqrt[4]{27b^3}}.\frac{4}{\sqrt[4]{27c^3}}\)

\(=\frac{4^3}{\sqrt[4]{27^3}.\sqrt[4]{a^3b^3c^3}}\ge\frac{4^3}{\sqrt[4]{27^3}.\sqrt[4]{\frac{1}{27^3}}}=64\)

đây là 1 sự nhầm lẫn đối với các bạn nhác tìm dấu = :))

Sử dụng BĐT Svacxo ta có :

 \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)

\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{\left(1+\sqrt{18}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)

\(=\frac{19+\sqrt{72}}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{25\sqrt{2}}{1}=25\sqrt{2}\)

bài làm của e : 

Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(Q\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)

Theo hệ quả của AM-GM thì : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(< =>\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)

Tiếp tục sử dụng Svacxo thì ta được : 

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+21=30\)

Vậy \(Min_P=30\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Và đương nhiên cách bạn dcv_new chỉ đúng với \(k\ge2\) ở bài:

https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html

Thực ra bài Min \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\) khi a + b + c = 1

chỉ là hệ quả của bài \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{k}{ab+bc+ca}\) khi \(a+b+c\le1\)

Ngoài ra nếu \(k< 2\) thì min là: \(\left(1+\sqrt{2k}\right)^2\)

Ta có:

\(\frac{3}{2}\ge a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\Leftrightarrow abc\le\frac{1}{8}\)

Ta có:

\(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1+1+1+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2b}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16a^2b^2}}\)

Tưng tự ta có: \(\hept{\begin{cases}3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16b^2c^2}}\\3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16c^2a^2}}\end{cases}}\)

Từ đó ta có

P\(\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16a^2b^2}}.7\sqrt[7]{\frac{1}{16b^2c^2}}.7\sqrt[7]{\frac{1}{16c^2a^2}}\)

\(=7^3\sqrt[7]{\frac{1}{16^3a^4b^4c^4}}\ge7^3.\sqrt[7]{\frac{8^4}{16^3}}=7^3\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

Ta có:

\(\frac{3}{2}\ge a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\Leftrightarrow abc\le\frac{1}{8}\)

Ta có:

\(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1+1+1+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2b}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16a^2b^2}}\)

Tưng tự ta có: \(\hept{\begin{cases}3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16b^2c^2}}\\3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16c^2a^2}}\end{cases}}\)

Từ đó ta có

\(\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16a^2b^2}}.7\sqrt[7]{\frac{1}{16b^2c^2}}.7\sqrt[7]{\frac{1}{16c^2a^2}}\)

\(=7^3\sqrt[7]{\frac{1}{16^3a^4b^4c^4}}\ge7^3.\sqrt[7]{\frac{8^4}{16^3}}=7^3\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

ý bn là cho biểu thức abc vào trong căn thì nó đổi dấu ạ ?

ta có A=\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}\)

mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+...\)

Áp dụng bđt co si ta có , \(\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)

tương tự mấy cái kia rồi + vào thì A>=...

\(P=\left[\left(2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+1\right]\left[\left(2+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+1\right]\left[\left(2+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+1\right]\)

\(\ge\left(6\sqrt[3]{\frac{1}{4ab}}+1\right)\left(6\sqrt[3]{\frac{1}{4bc}}+1\right)\left(6\sqrt[3]{\frac{1}{4ca}}+1\right)\)

\(\ge\left[7\sqrt[7]{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4ab}}\right)^6}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4bc}}\right)^6}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4ca}}\right)^6}\right]\)

\(=\left[7\sqrt[7]{\left(\frac{1}{4ab}\right)^2}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\frac{1}{4bc}\right)^2}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\frac{1}{4ca}\right)^2}\right]\)

\(=343\sqrt[7]{\left(\frac{1}{64\left(abc\right)^2}\right)^2}\ge343\sqrt[7]{\left(\frac{1}{64\left[\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\right]^2}\right)^2}=343\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

P/s: Em chưa check lại đâu nha::D

Khúc cuối bài ban nãy là \(\ge343\) nha! Em đánh nhầm

Cách khác (em thử dùng Holder, mới học nên em không chắc lắm):

\(P\ge\left(3+\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}+\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\right)^3=\left(3+2\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\right)^3\ge\left(3+2\sqrt[3]{\frac{1}{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\right]}}\right)^3\ge343\)