\(n^6-n^2=n^2\left(n^4-1\right)=\left(n^2-1\right)n^2\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right).n.\left(n+1\right).n.\left(n^2-4\right)+5.n^2\left(n-1\right).\left(n+1\right)\)

\(=n^2\left(n-1\right).\left(n-2\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n^2\left(n-1\right).\left(n+1\right)\)

Vì \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-2\right)\) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên 

\(n^2\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho 3.4.5=60

Xét \(n\) chẵn thì \(n^2⋮4\) nên \(5n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮20\) mà \(n\left(n+1\right)\left(n-1\right)⋮3\)

\(\Rightarrow5n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮60\)

\(\Rightarrow n^2\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮60\) hay \(n^6-n^2⋮60\)

Xét \(n\) lẻ thì \(n-1,n+1\) cùng chẵn hay \(5n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮4\) 

\(\Rightarrow5n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮60\) hay \(n^6-n^2⋮60\)

bạn ơi giải thích cho mình chỗ(n^2-1).n^2(n^2+1) taih sao lại bằng(n-1)n(n+1)n(n^2-4)+5n^2.(n-1)(n+1) được ko? Cảm ơn bn nhiều nha

\(n+2⋮n-3\)

\(n-3+5⋮n-3\)

\(5⋮n-3\)hay \(n-3\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

a, \(=>n^2-n-4n+4-3⋮\left(n-1\right)\)

\(=>n\left(n-1\right)-4\left(n-1\right)-3⋮\left(n-1\right)\)

=> (n-1) là ước của 3; Mà Ư(3) = 1;-1;3;-3 nên ta có:

\(\left[{}\begin{matrix}n-1=1\\n-1=-1\\n-1=3\\n-1=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=2\\n=0\\n=4\\n=-2\end{matrix}\right.\)

b, \(=>2n^2+2n-2n-3⋮\left(n+1\right)\)

\(=>2n\left(n+1\right)-2\left(n+1\right)-1⋮\left(n+1\right)\)

=>(n+1) là ước của 1; mà Ư(1)= 1;-1 nên ta có:

\(\left[{}\begin{matrix}n+1=1\\n+1=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0\\n=-2\end{matrix}\right.\)

c, \(=>-3n+12=-\left(3n+3\right)+15⋮\left(n+1\right)\)

=>(n+1) là ước của 15;

Bạn làm tương tự nhé;

CHÚC BẠN HỌC TỐT.........