-8x²+4xy-y²+10=10-(4x²-4xy+y²)-4x²=10-(2x-y)²-(2x)²

vi-(2x-y)²-(2x)² ≤0

=>10-(2x-y)²-(2x)²≤10

dau bang say ra khi (2x-y)²-(2x)²=0 

vậy gái trị nhỏ nhất là:10

\(Q=-8x^2+4xy-y^2+10\)<=>\(Q=10-4x^2+4xy-y^2-4x^2\)

<=>\(Q=10-\left[\left(2x^2\right)-4xy+y^2\right]-\left(2x\right)^2\)<=>\(Q=10-\left(2x-y\right)^2-\left(2x\right)^2\)

<=>\(Q=10-\left[\left(2x-y\right)^2+\left(2x\right)^2\right]\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(2x-y\right)^2\ge0\\\left(2x\right)^2\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+\left(2x\right)^2\ge0}\)\(\Leftrightarrow-\left[\left(2x-y\right)^2+\left(2x\right)^2\right]\le0\)

\(\Leftrightarrow Q=10-\left[\left(2x-y\right)^2+\left(2x\right)^2\right]\le10\)

=>Q_max=10 <=> \(\left(2x-y\right)^2=\left(2x\right)^2=0\)<=>\(2x-y=2x=0\) <=>\(x=y=0\)

Vậy Q_max=10 tại x=y=0

Lời giải:

ĐKĐB $\Leftrightarrow (x^2+4y^2-4xy)+8x=5$

$\Leftrightarrow (x-2y)^2+8x=5$.

Đặt $x-2y=a; x=b$ thì bài toán trở thành:

Cho $a,b$ thực thỏa mãn $a^2+8b=5$. Tìm max của $B=-2a+8b$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$a^2+1\geq 2\sqrt{a^2}=2|a|\geq -2a$

$\Rightarrow a^2+1\geq -2a$

$\Rightarrow a^2+8b+1\geq -2a+8b$

$\Leftrightarrow 6\geq B$. Vậy $B_{\max}=6$

q=-(4x^2-4xy+y^2)-4x^2+10

vậy giá trị lớn nhất bằng 10

a: \(A=-x^2-4x-2\)

\(=-x^2-4x-4+2\)

\(=-\left(x^2+4x+4\right)+2\)

\(=-\left(x+2\right)^2+2< =2\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x+2=0

=>x=-2

b: \(B=-2x^2-3x+5\)

\(=-2\left(x^2+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2}\right)\)

\(=-2\left(x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{16}-\dfrac{49}{16}\right)\)

\(=-2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{49}{8}< =\dfrac{49}{8}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x+\dfrac{3}{4}=0\)

=>\(x=-\dfrac{3}{4}\)

c: \(C=\left(2-x\right)\left(x+4\right)\)

\(=2x+8-x^2-4x\)

\(=-x^2-2x+8\)

\(=-x^2-2x-1+9\)

\(=-\left(x^2+2x+1\right)+9\)

\(=-\left(x+1\right)^2+9< =9\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x+1=0

=>x=-1

d: \(D=-8x^2+4xy-y^2+3\)

\(=-8\left(x^2-\dfrac{1}{2}xy\right)-y^2+3\)

\(=-8\left(x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{4}y+\dfrac{1}{16}y^2\right)+\dfrac{1}{2}y^2-y^2+3\)

\(=-8\left(x-\dfrac{1}{4}y\right)^2-y^2+3< =3\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi y=0 và x-1/4y=0

=>y=0 và x=0

Bài 1

a) \(A=\left(x+1\right)\left(2x-1\right)=2x^2+x-1=2\left(x^2+\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\right)=2\left(x^2+2.\frac{1}{4}.x+\frac{1}{16}-\frac{9}{16}\right)\)\(=2\left[\left(x+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{9}{16}\right]=2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{9}{8}\)

Vì \(\left(x+\frac{1}{4}\right)^2\ge0\Rightarrow2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2\ge0\Rightarrow2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{9}{8}\ge-\frac{9}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x+\frac{1}{4}\right)^2=0\Leftrightarrow x+\frac{1}{4}=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{4}\)

Vậy minA=-9/8 khi x=-1/4

b)\(B=4x^2-4xy+2y^2+1=\left(4x^2-4xy+y^2\right)+y^2+1=\left(2x-y\right)^2+y^2+1\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(2x-y\right)^2\ge0\\y^2\ge0\end{cases}}\)=>\(\left(2x-y\right)^2+y^2\ge0\Rightarrow B=\left(2x-y\right)^2+y^2+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra khi (2x-y)²=y²=0 <=> 2x-y=y=0 <=> x=y=0

Vậy minB=1 khi x=y=0

lý luận tương tự bài 1, bài này mình làm tắt

Bài 2:

a) \(C=5x-3x^2+2=-\left(3x^2-5x-2\right)=-3\left(x^2-\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}\right)\)

\(=-3\left(x^2-2.\frac{5}{6}.x+\frac{25}{35}-\frac{49}{36}\right)=-3\left[\left(x-\frac{5}{6}\right)^2-\frac{49}{36}\right]=\frac{49}{12}-3\left(x-\frac{5}{6}\right)^2\le\frac{49}{12}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=5/6

b)\(D=-8x^2+4xy-y^2+3=3-\left(8x^2-4xy+y^2\right)=3-\left[\left(4x^2-4xy+y^2\right)+4x^2\right]\)

\(=3-\left[\left(2x-y\right)^2+4x^2\right]\le3\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=0

\(4B=4x^2+4xy+4y^2-8x-12y+8076\)

= \(\left(2y\right)^2-4y\left(3-x\right)+\left(3-x\right)^2-\left(3-x\right)^2\)

\(+\left(2x\right)^2-8x+8076\)

= \(\left(2y-3+x\right)^2+3x^2-2x+8076\)

đến đây thì dễ rồi

Mình đang bận nên chỉ nói hướng làm thôi nhá. GTNN thì bạn cộng trừ 1, còn GTLN thì bạn cộng trừ 6. Sau đó bạn sẽ tách ra được thành a+(2x^2+y^2)/x^2+y^2