\(ĐKXĐ:x,y,z\ge1\left(x,y,z\inℤ\right)\)

Ta có: \(\left(x+2y\right)^2=\left(\frac{2x+y}{2}+\frac{3y}{2}\right)^2\ge4.\frac{2x+y}{2}.\frac{3y}{2}=3y\left(2x+y\right)\)

\(\Rightarrow\frac{2x+y}{x+2y}\le\frac{x+2y}{3y}\Rightarrow\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Tương tự: \(\frac{2y+z}{y\left(y+2x\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\);\(\frac{2z+x}{z\left(z+2x\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{3}.3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)(*)

Ta có: \(\sqrt{2x-1}=\sqrt{\left(2x-1\right).1}\le\frac{2x-1+1}{2}=x\)(BĐT Cô - si)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\)

Tương tự: \(\frac{1}{y}\le\frac{1}{\sqrt{2y-1}}\);\(\frac{1}{z}\le\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}=3\)(**)

Từ (*) và (**) suy ra \(A=\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}+\frac{2y+z}{y\left(y+2z\right)}+\frac{2z+x}{z\left(z+2x\right)}\le3\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Từ đẳng thức đã cho suy ra \(x>\frac{1}{2};y>\frac{1}{2};z>\frac{1}{2}\)

Áp dụng\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)ta có \(\left(x+2y\right)^2=\left(\frac{2x+y}{2}+\frac{3y}{2}\right)^2\ge4\cdot\frac{2x+y}{2}\cdot\frac{3y}{2}\)

\(\Rightarrow\left(x+2y\right)^2\ge3y\left(2x+y\right)\)(Dấu "=" xảy ra <=> x=y)

=> \(\frac{2x+y}{x+2y}\le\frac{x+2y}{3y}\Rightarrow\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{2y+z}{y\left(y+2z\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\\\frac{2z+x}{z\left(z+2x\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)\end{cases}}\)

=> \(A\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)(Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z)

Ta có \(\sqrt{\left(2x-1\right)\cdot1}\le\frac{\left(2x-1\right)+1}{2}\Rightarrow\sqrt{2x-1}\le x\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\)

Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{y}\le\frac{1}{\sqrt{2y-1}}\\\frac{1}{z}\le\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\end{cases}}\)

Do đó \(A\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}=3\)(dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1)

Vậy Max_A=3 đạt được khi x=y=z=1

Đăng từng bài thôi chứ bạn

mk lm nha

1.

a)Ta có: 3.x=y.7

3x chia hết cho 7 mà 3 và 7 là số nguyên tố cùng nhau

suy ra: x chia hết cho 2 hay x=2k (k thuộc tập hợp số nguyên)

7y chia hết cho 3 mà 7 và 3 là số nguyên tố cùng nhau

suy ra: y chia hết cho 3 hay y=7k (k thuộc tập hợp số nguyên)

(y khác 0 nên k khác 0)

vậy: x=2.k

y=5.k

(k thuộc tập hợp Z và k khác 0)

a) vì y+z+1/x = x+z+2/y = x+y-3/z = 1/x+y+z

=>

y+z+1/x = x+z+2/y = x+y-3=y+z+1+x+z+2+x+y-3/x+y+z = 2x+2y+2z/x+y+z = 2

=> 2 = 1/ x+y+z => x+y+z=1/2

sau đó áp dụng tính chất dãy tỉ số = hau

ap dung bdt \(x^{m+n}+y^{m+n}\ge x^my^n+x^ny^m\)  (bn tu cm )

\(\Rightarrow x^7+y^7=x^{3+4}+y^{3+4}\ge x^3y^4+x^4y^3\)

\(\Rightarrow\frac{x^2y^2}{x^2y^2+x^7+y^7}\le\frac{x^2y^2}{x^2y^2\left(1+xy^2+x^2y\right)}=\frac{1}{1+x^2y+y^2x}=\frac{1}{xyz+x^2y+y^2x}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}=\)

=\(\frac{z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{z}{x+y+z}\)

ttu \(P\le\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\) đầu = xảy ra khi x=y=z=1

\(2x+\frac{1}{7}=\frac{1}{y}< =>\frac{2xy+y}{7y}=\frac{7}{7y}.\)(đk :y khác 0)

\(< =>y\left(2x+1\right)=7=>2x+1=\frac{7}{y}.\)

\(dox,y\varepsilon Z=>2x+1\in Z=>7⋮y=>y\inƯ\left(7\right)=\left[+-1;+-7\right]\)

\(=>x\in\left[3;-4;0;-1\right]\)

2x+1/7=1/y => 14x+1/7=1/y =>(14x+1)y=7                                                                                                                                          do x,y thuộc z nên 7chia hết cho 14x+1                                                                                                                                              Mà 14x+1 chia 14 dư 1 hoặc dư -13 nên 14x+1=1 =>x=0                                                                                                                    thay vào tìm được y=7