Ta có:\(A=n^3+3n^2+5n+3\)=\(n^3-n+3n^2+6n+3\)

=\(n\left(n^2-1\right)+3\left(n^2+2n+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)^2\)

Vì \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3\)

Mà \(3\left(n+1\right)^2⋮3\) nên \(A=n^3+3n^2+5n+3⋮3\) với mọi n

Lời giải:

\(A=n^3+3n^2+5n+3\)

\(A=n^2(n+1)+2n(n+1)+3(n+1)\)

\(A=(n+1)(n^2+2n+3)\)

Nếu \(n=3k\Rightarrow n^2+2n+3=9k^2+6k+3=3(3k^2+2k+1)\)

\(\Rightarrow n^2+2n+3\vdots 3\Rightarrow A\vdots 3\)

Nếu \(n=3k+1\Rightarrow n^2+2n+3=n(n+2)+3\)

\(=(3k+1)(3k+3)+3=3[(3k+1)(k+1)+1]\vdots 3\)

\(\Rightarrow A\vdots 3\)

Nếu \(n=3k+2\Rightarrow n+1=3k+3=3(k+1)\vdots 3\)

\(\Rightarrow A\vdots 3\)

Từ các TH trên suy ra A luôn chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên $n$

vì 3n^2 và 3 chia hết cho 3 nên xét n^3 + 5n = n(n^2 + 5)

nếu n chia hết cho 3 thì ....

nếu n không chia hết cho 3 thì n^2 chia 3 dư 1 suy ra n^2 + 5 chia hết cho 3

ta có n là số nguyên dương => n là số tự nhiên khác 0

A = n³ + 3n² + 5n +3

   = (n³ - n) + 3(n² +2n +1)

   = n(n - 1)(n + 1) + 3(n² + 2n +1)

ta thấy n(n-1)(n+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp

mà tích 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 

=> n(n-1)(n+1) chia hết cho 3

mặc khác 3(n² + 2n +1) luôn chia hết cho 3

=> n(n-1)(n+1) + 3(n² + 2n +1) chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương

=> n³ + 3n² + 5n +3 luôn chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương

\(A=n^3+3n^2+5n+3\)

\(A=n^3+3n^2+2n+3n+3\)

\(A=n^3+n^2+2n^2+2n+3n+3\)

\(A=n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)+3n+3\)

\(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3\left(n+1\right)\)

Vì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\forall n\in Z^+\)

Lại có:\(3\left(n+1\right)⋮3\forall n\in Z^+\)

\(\Rightarrow A⋮3\left(đpcm\right)\)

\(a,n^5-5n^3+4n=n\left(n^4-5n^2+4\right)=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮120\)(chia hết cho 1;2;3;4;5)\(\Rightarrowđpcm\)

b,
A = n^3-3n^2-n+3 = n^2(n - 3) - (n-3) = (n -3)(n-1)(n+1)
vì n lẻ nên:
(n-1)(n+1) là tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
(n - 3) là số chẵn chia hết cho 2
=> A chia hết cho 16(*)
mặt khác:
A = n^3-3n^2-n+3 = n^3 - n - 3(n^2 - 1) = n(n+1)(n-1) - 3(n^2-1)
xét các trường hợp:
n = 3k => n(n+1)(n-1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
n = 3k + 1 => (n -1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
n = 3k + 2 => (n+1) = 3k + 3 chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3 (**)
(*) và (**) => A chia hết cho 3.16 = 48 (3,16 là 2 số nguyên tố cùng nhau).

Câu hỏi của CoRoI - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

\(a,n^5-5n^3+4n\)

\(=n\left(n^4-5n^2+4\right)\)

\(=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)\)

\(=n\left[n^2\left(n^2-1\right)-4\left(n^2-4\right)\right]\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2;3;4;5\)\(\Rightarrow\) \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮120\) Hay \(n^5-5n^3+4⋮120\)

(3n-5)(2n+1)+7(n-1)=6n²-7n-5+7n-7

                           =6n²-12

                           =3(2n-4)

=>(3n-5)(2n+1)+7(n-1) chia hết cho 3, với mọi n

(n-4)(5n+3)-(n+1)(5n-2)+4=5n²-17n-12-(5n²+3n-2)

 =5n²-17n-12-5n²-3n+2

=-20n-10

=5(-4n-2)

=>(n-4)(5n+3)-(n+1)(5n-2)+4 chia hết cho 5, với mọi n

trieu dang làm đúng rùi