Tui có cách khác đây, góp vui thôi thi đừng xài (bí lắm xài cx dc)

Dự đoán dấu "=" xảy khi \(x=y=z=1\) tính được \(P=3\)

Vậy cần chứng minh đó là GTNN của P

Thật vậy, tức là cần chứng minh 

\(P=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2}\ge3\)

\(\Leftrightarrow\frac{3+3x}{9+9y^2}+\frac{3+3y}{9+9z^2}+\frac{3+3z}{9+9x^2}\ge1\)

\(\LeftrightarrowΣ\frac{4x+y+z}{\left(x+y+z\right)^2+9y^2}\ge\frac{3}{x+y+z}\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(7x^6+30x^5y+21x^5z-6x^4y^2+57x^4z^2+14x^3y^3+75x^4yz-6x^3y^2z+66x^3z^2y-258x^2y^2z\right)\ge0\)

BĐT cuối đúng vì \(Σx^6\geΣx^4y^2\) theo BĐT Rearrangement còn lại đúng theo AM-GM

P/s:dưới chân mỗi Σ bn ghi chữ "cyc" hộ mk nhé

Hướng giải nè: 

P/s: đây là cách giải của bản thân mik nên chưa bt nó tối ưu chưa

\(\frac{x+1}{1+y^2}=\left(x+1\right)-\frac{y^2.\left(x+1\right)}{1+y^2}\ge\left(x+1\right)-\frac{y.\left(x+1\right)}{2}=x-\frac{y}{2}+1-\frac{xy}{2}\)

bạn lm tương tự r cộng vào,,đánh giá nốt là ok

Hướng giải của tôi nha :

P/s : Đây là cách giải của mình nhưng mình không chắc lắm

\(\frac{x+1}{1+y^2}=\left(x+1\right)-\frac{y^2x\left(x+1\right)}{1+y^2}\ge\left(x+1\right)-\frac{ỹ\left(x+1\right)}{2}=x-\frac{y}{2}+1-\frac{xy}{2}\)

c) \(\dfrac{x+4}{20}=\dfrac{5}{x+4}\)

⇔\(\left(x+4\right)\left(x+4\right)=100\)

⇔\(\left(x+4\right)^2=10^2\)

⇔\(\left[{}\begin{matrix}x+4=10\\x+4=-10\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left[{}\begin{matrix}x=6\\x=-14\end{matrix}\right.\)

\(c,ĐK:x\ne-4\\ PT\Leftrightarrow\left(x+4\right)^2=100\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+4=10\\x+4=-10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=6\left(tm\right)\\x=-14\left(tm\right)\end{matrix}\right.\\ d,ĐK:x\ne-2;x\ne-3\\ PT\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+3\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)\\ \Leftrightarrow x^2+2x-3=x^2-4\\ \Leftrightarrow2x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\left(tm\right)\)

b1: x+2y=1 => x=1-2y

P=4xy=4y(1-2y)=4y-8y²

Ta có: y²>=0(với mọi x)

=>8y²>=0(với mọi x)

=>-8y²<=0(với mọi x)

=>4y-8y²<=4y(với mọi x) hay P<=4y(với mọi x)

Do đó, GTLN của P là 4y khi:y=0

Vậy GTLN của P là 0

b3: Ta có: x^4>=0(với mọi x)

=>x^4+4>=4(với mọi x)

=>x^2/(x^4+4)<=x^2/4(với mọi x) hay A<=x^2/4(với mọi x)

Do đó, GTLN của A là x^2/4 khi x=0

Vậy GTLN của A là 0 tại x=0

b4:\(M=x-2.\sqrt{x-5}\)

Ta có: \(\sqrt{x-5}\)>=0(với mọi x)

=>2.\(\sqrt{x-5}\)>=0(với mọi x)

=>-2.\(\sqrt{x-5}\)<=0(với mọi x)

=>x-2.\(\sqrt{x-5}\)<=x(với mọi x) hay M<=x(với mọi x)

Do đó, GTLN của M là x tại \(\sqrt{x-5}\)=0

                                                 x-5=0

                                                x=0+5=5

Vậy GTLN của M là 5 tại x=5

Bài 1:thay x= 1-2y vào biểu thức P=4xy ta có:

P= 4(1-2y)y= -8\(y^2\)+4y=-8(\(y^2\)-\(\frac{y}{2}\))= -8[(\(y^2\)-2.y.\(\frac{1}{4}\)+\(\left(\frac{1}{4}\right)^2\))-\(\left(\frac{1}{4}\right)^2\)]

=-8[\(\left(y-\frac{1}{4}\right)^2\)-\(\frac{1}{16}\)]=-8.\(\left(y-\frac{1}{4}\right)^2\)+\(\frac{1}{2}\)

Ta có -8\(\left(y-\frac{1}{4}\right)^2\)\(\le\)0 

=> P=-8\(\left(y-\frac{1}{4}\right)^2\)+\(\frac{1}{2}\)\(\le\)\(\frac{1}{2}\)

Vậy P đạt giá trị lớn nhất là \(\frac{1}{2}\) dấu = xảy ra khi y-\(\frac{1}{4}\)=0=> y=\(\frac{1}{4}\)

 bài 4 yêu cầu phải là tìm GTNN nhé

x-2\(\sqrt{x}\)-5= \(\left(\sqrt{x}\right)^2\)-2.\(\sqrt{x}\).1+\(1^2\)-\(1^2\)-5

=\(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\)-6

Ta có \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\)\(\ge\)0 

=>\(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\)-6 \(\ge\)-6

Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất là -6 dấu = xảy ra khi \(\sqrt{x}\)-1=0=> x=1

3^x +  3^x+1 + 3^x+2 = ??????

bao nhiêu vậy bạn mình ko biết bằng bao nhiêu 

có phải đề là 

3^x +  3^x+1 + 3^x+2=1053

3^x(1+3+9)=1053

3^x.13=1053

3^x=81

3^x=3⁴

x=4

3^x + 3^x+1 +3^x+2 = 1053 

= 3^x . ( 1 + 3 + 9 ) = 1053

= 3^x . 13 = 1053

=      3^x   = 1053 : 13

=       3^x  = 81

=       3^x  = 3⁴ 

=         x  = 4

HOk tốt!!!!!!!!!!!!!!!

1/ 1 + 2 + 3 + ... + x = 55

(1 + x) × x : 2 = 55

(1 + x) × x = 55 × 2

(1 + x) × x = 110

(1 + x) × x = 11 × 10

=> x = 10

Vậy x = 10

b) 2 + 4 + 6 + ... + 2x = 110

2 × (1 + 2 + 3 + ... + x) = 110

1 + 2 + 3 + ... + x = 110 : 2

1 + 2 + 3 + ... + x = 55

Tiếp thep lm tương tự câu trên