Chứng minh: a/(b+c+d) + b/(c+d+a) + c/(d+a+b) + d/(a+b+c) >= 4/3
H24
Những câu hỏi liên quan
Chứng minh nếu (a + b + c + d)(a - b - c + d) = (a - b + c - d)(a + b - c - d) thì ad = bc
Cho a/b=b/c=c/d . Chứng minh (a+b+c/b+c+d)^3=a/d
mọi người giúp mk với!
Ta có :
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a+b+c}{b+c+d}=\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\) (1)
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\frac{a}{d}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a,b,c>0 chứng minh rằng : (a-b)/b+c)+(b-c/c+d)+ (c-d/a+d)>=(a-d/a+b)
\(\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}\ge\frac{a-d}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}-\frac{a-d}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a-b}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b-c}{c+d}+1\right)+\left(\frac{c-d}{a+d}+1\right)+\left(\frac{d-a}{a+b}+1\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{a+d}+\frac{d+b}{a+b}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge4\)(1)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{a+d}+\frac{d+b}{a+b}\ge\)\(\left(a+c\right)\frac{2}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+d\right)}}+\left(b+d\right)\frac{2}{\sqrt{\left(c+d\right)\left(a+b\right)}}\ge\frac{4\left(a+c\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(b+d\right)}{a+b+c+d}=\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=4 \left(2\right)\)Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}\ge\frac{a-d}{a+b}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+c}=\frac{1}{a+d}\\\frac{1}{c+d}=\frac{1}{a+b}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b+c=a+d\\c+d=a+b\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=d\)
Đúng 0
Bình luận (0)
vì sao
(a+c)(2/căn bậc 2 của(b+c)(a+d))+(b+d)(2/căn bậc 2 của (c+d)(a+b))
>=(4(a+c)/a+b+c+d) +4(b+d)/a+b+c+d
(căn bậc 2 máy mink ko viết đc)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a,b,c,d là các số không bằng nhau và (a+b+c+d).(a-b-c+d)=(a-b+c-d)(a+b-c-d) chứng minh rằng a:c=b:d
\(\left(a+b+c+d\right)\left(a-b-c+d\right)=\left(a-b+c-d\right)\left(a+b-c-d\right)\)
\(\left(a+d\right)^2-\left(b+c\right)^2=\left(a-d\right)^2-\left(b-c\right)^2\)
\(\left(a+d\right)^2-\left(a-d\right)^2=\left(b+c\right)^2-\left(b-c\right)^2\)
\(\left(a+d-a+d\right)\left(a+d+a-d\right)=\left(b+c-b+c\right)\left(b+c+b-c\right)\)
\(2d\times2a=2b\times2c\)
\(ad=bc\)
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\left(\text{đ}pcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng nếu có
(a + b + c + d)(a - b - c + d) = (a - b + c - d)(a + b - c -d) thì bốn số a, b, c, d lập thành 1 tỉ lệ thức.
Câu 1: Cho a,b,c0và a+b+c3. Chứng minh rằng:frac{a}{1+b^2}+frac{b}{1+c^2}+frac{c}{1+a^2}gefrac{3}{2}.Câu 2: Cho a,b,c,d0và a+b+c+d4. Chứng minh rằng:frac{a}{1+b^2}+frac{b}{1+c^2}+frac{c}{1+d^2}+frac{d}{1+a^2}ge2.Câu 3: Cho a,b,c,d0. Chứng minh rằng:frac{a^3}{a^2+b^2}+frac{b^3}{b^2+c^2}+frac{c^3}{c^2+d^2}+frac{d^3}{d^2+a^2}gefrac{a+b+c+d}{2}.Câu 4: Cho a,b,c,d0. Chứng minh rằng:frac{a^4}{a^3+2b^3}+frac{b^4}{b^3+2c^3}+frac{c^4}{c^3+2d^3}+frac{d^4}{d^3+2a^3}gefrac{a+b+c+d}{3}.Câu 5: Cho a...
Đọc tiếp
Câu 1: Cho \(a,b,c>0\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\).
Câu 2: Cho \(a,b,c,d>0\)và \(a+b+c+d=4\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}\ge2\).
Câu 3: Cho \(a,b,c,d>0\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\).
Câu 4: Cho \(a,b,c,d>0\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a^4}{a^3+2b^3}+\frac{b^4}{b^3+2c^3}+\frac{c^4}{c^3+2d^3}+\frac{d^4}{d^3+2a^3}\ge\frac{a+b+c+d}{3}\).
Câu 5: Cho \(a,b,c>0\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}\ge1\).
Câu 6: Cho \(a,b,c>0\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}\ge1\).
Câu 7: Cho \(a,b,c>0\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\).
Câu 8: Cho \(a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n>0\)và \(a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n=n\)với \(n\)nguyên dương. Chứng minh:
\(\frac{1}{a_1+1}+\frac{1}{a_2+1}+...+\frac{1}{a_{n-1}+1}+\frac{1}{a_n+1}\ge\frac{n}{2}\).
Chứng minh rằng nếu a/b<c/d(b, d>0) thì: a/b<a+c/b+d<c/d
\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\)
Có:
\(\frac{ab+ad}{b\left(b+d\right)}< \frac{ab+bc}{b\left(b+d\right)}\)\(\Rightarrow\frac{a\left(b+d\right)}{b\left(b+d\right)}< \frac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+d\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\left(1\right)\)
\(\frac{ad+cd}{d\left(b+d\right)}< \frac{bc+cd}{d\left(b+d\right)}\)\(\Rightarrow\frac{d\left(a+c\right)}{d\left(b+d\right)}< \frac{c\left(b+d\right)}{d\left(b+d\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c,d là 4 sô nguyên dương bất kì hãy chứng minh rằng: \(A=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+d+b}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}\)
không phải là sô nguyên
Do a,b,c,d>0
Ta có:\(\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}
Đúng 0
Bình luận (0)
em không hiểu lắm a trả lời rõ hộ em được k tks anh
Đúng 0
Bình luận (0)
\(a,b,c,d>0\). Chứng minh \(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)
\(1< A=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)
(*) C/m A>2
Trước hết ta có với x>y>0 và m>0
luôn có \(\frac{y}{x}< \frac{y+p}{x+p}\) (1)
c/m: \(\Leftrightarrow xy+ym< xy+xm\Leftrightarrow m\left(x-y\right)>0\) luôn đúng => (1) được c/m.
áp (1) vào từng số hạng của A ta có
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{b+a}{a+b+c+d}+\frac{b+c}{a+b+c+d}+\frac{c+d}{d+a+b+c}\\ \)
\(\frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{b+a}{a+b+c+d}+\frac{b+c}{a+b+c+d}+\frac{c+d}{d+a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\)=>(*) dpc/m
(**)C/m A>1: ta có với x>0 và m>0=> \(x>\frac{x}{x+m}\\ \) (2)
Áp (2) vào tầng số hạng của A ta có
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{b+c+d+a}+\frac{d}{d+a+b+c}\\ \)
\(\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{b+c+d+a}+\frac{d}{d+a+b+c}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\) => (**)dpcm
Từ (*) và (**) =>\(1< A< 2\)=> dpcm
Đúng 0
Bình luận (2)