\(1< A=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)
(*) C/m A>2
Trước hết ta có với x>y>0 và m>0
luôn có \(\frac{y}{x}< \frac{y+p}{x+p}\) (1)
c/m: \(\Leftrightarrow xy+ym< xy+xm\Leftrightarrow m\left(x-y\right)>0\) luôn đúng => (1) được c/m.
áp (1) vào từng số hạng của A ta có
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{b+a}{a+b+c+d}+\frac{b+c}{a+b+c+d}+\frac{c+d}{d+a+b+c}\\ \)
\(\frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{b+a}{a+b+c+d}+\frac{b+c}{a+b+c+d}+\frac{c+d}{d+a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\)=>(*) dpc/m
(**)C/m A>1: ta có với x>0 và m>0=> \(x>\frac{x}{x+m}\\ \) (2)
Áp (2) vào tầng số hạng của A ta có
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{b+c+d+a}+\frac{d}{d+a+b+c}\\ \)
\(\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{b+c+d+a}+\frac{d}{d+a+b+c}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\) => (**)dpcm
Từ (*) và (**) =>\(1< A< 2\)=> dpcm