\(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3\)

\(=1+8+27+64+125+216\)

\(=441=21^2\)

Mình có 1 cách chứng minh biểu thức này đúng với mọi số tự nhiên n :) Bạn có thể tham khảo.

Ta sẽ sử dụng quy nạp.

Nếu bạn chưa học quy nạp thì mình giải thích ngắn gọn thế này : Bây giờ mình cần chứng minh biểu thức nào đó đúng với mọi n, ví dụ A chia hết cho n với mọi n, hoặc A > n với mọi n :). Số n chỉ là mình đặt ra, bạn có thể đặt a,b,c,d,... tùy ý, miễn là nó tượng trưng.

Bây giờ ta có 1 số bất kỳ thỏa mãn biểu thức đó, tức là giả sử tồn tại số n nào đó mà khiến cho biểu thức đúng, ta chỉ cần chứng minh số liền sau của k cũng thỏa mãn thì biểu thức hoàn toàn đúng với mọi n.

Ta sẽ chứng minh \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\)

Với n = 1 thì đẳng thức đúng.

Với n > 1. Coi tồn tại số n thỏa mãn đẳng thức trên. \(\Rightarrow1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh n + 1 cũng thỏa mãn.

Ta có :

\(1^3+2^3+...+n^3+\left(n+1\right)^3\)

\(=\left(1+2+3+...+n\right)^2+\left(n+1\right)^3\)

\(=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2+\left(n+1\right)^3\)

\(=\left(n+1\right)^2.\frac{n^2}{4}+\left(n+1\right)^2\frac{4n+4}{4}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)^2\left[n^2+4n+4\right]}{4}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)^2.\left(n+2\right)^2}{4}\)

\(=\left[\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\right]^2\)

Chắc chắn \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)chia hết cho 2, nên biểu thức đó là một số chính phương.

Vậy biểu thức này đúng với mọi n :\(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\) 

Ví dụ bài của bạn vừa rồi :

\(1^3+2^3+...+6^3=\left(1+2+3+...+6\right)^2=21^2\)

Sô các số là : (2n-1) :2 +1 = n-1  
Ta có : (2n -1 +1 ) . (n -1 ) :2  =  ( 2n -2 ) . ( n -1 ) :2 
                                           = 2 ( n -1 ) .( n-1) 
                                            = ( n-1 ) . ( n - 1) = ( n -1 ) ²
Các bạn nên để ý đề , trong câu tương tự là  "+" còn đây là " - "

vào câu hỏi tương tự có dsaay

A có số số hạng là:

(2n+1-1):2+1=n+1(số)

=>\(\frac{\left(2n+1+1\right).\left(n+1\right)}{2}=\frac{\left(2n+2\right).\left(n+1\right)}{2}=\frac{2\left(n+1\right)\left(n+1\right)}{2}\)

                                                       \(=\left(n+1\right).\left(n+1\right)=\left(n+1\right)^2\)  

=>A là số chính phương

Số số hạng của tổng đã cho là : 

[(2n - 1) - 1] : 2 + 1 = (2n - 2)) : 2 + 1

                               = 2(n - 1) : 2 + 1

                                = n - 1 + 1

                                = n

Trung bình  ộng của tổng là : 

[(2n - 1) + 1]  : 2 = (2n - 1 + 1) : 2 

                           = 2n : 2

                           = n 

Khi đó ; 1 + 3 + 5 = .... + (2n - 3) + (2n - 1) = n.n = n²

Vậy 1 + 3 + 5 = .... + (2n - 3) + (2n - 1) là số chính phương

\(1+3+5+...+\left(2n+1\right)\)

số số hạng của dãy trên là : \(\left(2n+1-1\right):2+1=n+1\)

tổng dãy trên là:\(\frac{\left(2n+1+1\right)\left(n+1\right)}{2}=\left(n+1\right)\left(n+1\right)=\left(n+1\right)^2\)

suy ra dãy trên là một số chính phương

số các số hạng là:

(2n-1-1):2+1=n(số)

tổng A là:

(2n-1+1)n:2=n.n=n²

=>đpcm

Số số hạng là :

(2n + 1 - 1) : 2 + 1 = n + 1 (số hạng)

Do đó \(M=\frac{\left(2n+1+1\right).\left(n+1\right)}{2}=\frac{\left(2n+2\right).\left(n+1\right)}{2}=\frac{2.\left(n+1\right).\left(n+1\right)}{2}=\left(n+1\right).\left(n+1\right)=\left(n+1\right)^2\)

Vậy M là số chính phương