Vì số đó có tận cùng =0 => đó đó chia hết cho 10

Ta có: Tất cả 11 tổng

Lấy 11 tổng đó lần lượt chia 10 sẽ có 11 số dư mà 1 số khi chia cho 10 nhiều nhất là 10 số dư.

=> Ít nhất phải có 2 tổng bằng nhau

=> Hiệu của chúng có tận cùng =0             ĐPCM

Đề bài này tớ hok rồi pn ạ! PHải ghi thêm hiệu hiệu nữa! Đề đúng là:Cho 11 số tự  nhiên bất kì .sắp xếp theo thứ tự bất kì . chứng minh trong tổng nhận được bao giờ cũng tìm được 2 tổng mà hiệu của chúng chia hết cho 10 ( hay có tận cùng =0)

Gọi 5 số đó là a; b; c; d; e

Giả sử a<b<c<d<e

\(\Rightarrow d-b\ge2;e-c\ge2\)

Theo đề bài 

\(a+b+c>d+e\)

\(\Rightarrow a>b-d+c-e\ge4\Rightarrow a>5\)

Ta sẽ dùng phản chứng 

Gọi 4 cạnh của tứ giác là a , b , c , d ( a,b,c,d \(\inℕ^∗\))

Giả sử không có bất kì 2 cạnh nào bằng nhau

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{b+c+d}{a}\\y=\frac{c+d+a}{b}\\z=\frac{d+a+b}{c}\end{cases}}\left(x;y;z\inℕ^∗\right)\)(Do tổng 3 cạnh bất kì chia hết cho cạnh còn lại)

Theo bất đẳng thức trong tứ giác  thì dễ thấy \(x;y;z>1\)

Mà x,y,z là số tự nhiên nên \(x;y;z\ge2\)

Không mất tính tổng quát của bài toán ta giả sử a > b > c > d thì khi đó x < y < z

Ta có : \(\hept{\begin{cases}x\ge2\\y>x\end{cases}}\Rightarrow y\ge3\)

tương tự : \(z\ge4\)

Từ điều giả sử\(\Rightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}b+c+d\ge2a\\c+d+a\ge3b\\d+a+b\ge4c\end{cases}}\)

Cộng 3 vế vào ta được \(2a+2b+2c+3d\ge2a+3b+4c\)

                               \(\Rightarrow3d\ge b+2c\)(Vô lí do b > c > d)

Nên điều giả sử là sai 

Vậy luôn tồn tại ít nhất 2 cạnh bằng nhau trong tứ giác đó

Số đó là : 

56789 . Tổng của chúng = 35

Đáp số : 56789