Những câu hỏi liên quan
H24
Xem chi tiết
TC
31 tháng 10 2021 lúc 9:25

Đề lạ thế bạn ơi! Vế trái luôn không âm mà vế phải luôn không dương nên đây là điều hiển nhiên.

Mình nghĩ đề phải chứng minh thế này:

\(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)

Nếu thế thì cách làm như sau:

Ta có: Do x, y, z không âm nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-2\sqrt{xy}\ge0\\y+z-2\sqrt{yz}\ge0\\z+x-2\sqrt{xz}\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}\Leftrightarrow x=y=z\)

 

 

Bình luận (0)
A4
Xem chi tiết
NC
5 tháng 4 2019 lúc 9:25

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau:

 \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{x+y+z}{1}=x+y+z\)

\(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b}=\frac{z^2}{c}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\)

=> \(x+y+z=x^2+y^2+z^2\)

Suy ra: \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zt\right)=x+y+z+2\left(xy+yz+zt\right)\)

=> \(xy+yz+zt=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)^2-\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)

Đặt x+y+z=t

Ta có: \(xy+yz+zt=\frac{1}{2}\left(t^2-t\right)\)

M=xy+yz+zt=\(\frac{1}{2}\left(t^2-t\right)+2015=\frac{1}{2}\left(t^2-2.t.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)+2015=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{8}+2015\)

\(=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{16119}{8}>0\)

Bình luận (0)
HU
Xem chi tiết
HU
20 tháng 4 2018 lúc 21:21

\(\ge\)0 nhá

Bình luận (0)
LH
22 tháng 4 2018 lúc 11:48

Ta có: \(x-y+z=0\)
    \(\Rightarrow\left(x-y+z\right)^2=0 \)
  \(\Rightarrow\left(x-y+z\right).\left(x-y+z\right)=0\)
   \(\Rightarrow x\left(x-y+z\right)-y\left(x-y+z\right)+z\left(x-y+z\right)=0\)
   \(\Rightarrow x^2-xy+xz-xy+y^2-yz+xz-yz+z^2=0\)
  \(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=xy+xy+yz+yz-xz-xz\)
   \(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=2xy+2yz-2xz\)
   \(\Rightarrow x^2+y^2-z^2=2\left(xy+yz-xz\right)\)
Mà: \(x^2+y^2-z^2\ge0\)
\(\Rightarrow2\left(xy+yz-xz\right)\ge0\)
\(\Rightarrow xy+yz-xz\ge0\)(đpcm)
   Vậy: \(xy+yz-xz\ge0\)
   

Bình luận (0)
SL
Xem chi tiết
SL
Xem chi tiết
NH
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
2D
Xem chi tiết
ND
Xem chi tiết
NM
23 tháng 1 2017 lúc 1:59

Ta có \(xy+xz+yz=xyz\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y+z=\frac{xy+xz+yz}{xyz}\left(1\right)\)

Ta lại có \(\frac{x^2-yz}{x\left(1-yz\right)}=\frac{y^2-xz}{y\left(1-xz\right)}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :

\(\frac{x^2-yz}{x\left(1-yz\right)}=\frac{y^2-xz}{y\left(1-xz\right)}=\frac{x^2-yz-y^2+xz}{x\left(1-yz\right)-y\left(1-xz\right)}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)+z\left(x-y\right)}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y+z\right)}{x-y}=x+y+z\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\frac{x^2-yz}{x\left(1-yz\right)}=\frac{y^2-xz}{y\left(1-xz\right)}\Leftrightarrow xy+xz+yz=xyz\left(x+y+z\right)\)

Vậy ta có đpcm

Bình luận (0)