\(S=\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{7^2}+\dfrac{1}{9^2}+...+\dfrac{1}{103^2}\)

\(\Rightarrow2S=\dfrac{2}{5^2}+\dfrac{2}{7^2}+\dfrac{2}{9^2}+...+\dfrac{2}{103^2}\)

Có:

\(\dfrac{2}{5^2}=\dfrac{2}{5.5}< \dfrac{2}{4.6}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}\)

\(\dfrac{2}{7^2}=\dfrac{2}{7.7}< \dfrac{2}{6.8}=\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{8}\)

\(\dfrac{2}{9^2}=\dfrac{2}{9.9}< \dfrac{2}{8.10}=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{10}\)

...

\(\dfrac{2}{103^2}=\dfrac{2}{103.103}< \dfrac{1}{102.104}=\dfrac{1}{102}-\dfrac{1}{104}\)

\(\Rightarrow2S< \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{10}+...+\dfrac{1}{102}-\dfrac{1}{104}\)

\(\Rightarrow2S< \dfrac{25}{104}\)

\(\Rightarrow S< \dfrac{25}{208}< \dfrac{5}{32}\)

\(\Rightarrow S< \dfrac{5}{32}\).

Ta có:
\(\dfrac{1}{5^2}< \dfrac{1}{4.6}\)
\(\dfrac{1}{7^2}< \dfrac{1}{6.8}\)
\(\dfrac{1}{9^2}< \dfrac{1}{8.10}\)
\(...\)
\(\dfrac{1}{103^2}< \dfrac{1}{102.104}\)
\(\Rightarrow S\)\(< \dfrac{1}{4.6}+\dfrac{1}{6.8}+\dfrac{1}{8.10}+...+\dfrac{1}{102.104}\)\(\left(1\right)\)
Đặt \(A=\dfrac{1}{4.6}+\dfrac{1}{6.8}+\dfrac{1}{8.10}+...+\dfrac{1}{102.104}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{4.6}+\dfrac{2}{6.8}+\dfrac{2}{8.10}+...+\dfrac{2}{102.104}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{10}+...+\dfrac{1}{102}-\dfrac{1}{104}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{104}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}.\dfrac{25}{104}\)
\(=\dfrac{25}{208}< \dfrac{25}{160}\)\(\left(2\right)\)
Mà \(\dfrac{25}{160}=\dfrac{5}{32}\)\(\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\)
\(\Rightarrow S< \dfrac{5}{32}\)

???

bn ơi???

Bạn Tiểu Tôm Béo ơi có thể check lại đề không ạ?

`Answer:`

 \(S=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{31}+\frac{1}{32}\)

a) Ta thấy:

\(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{9}+...+\frac{1}{16}>8.\frac{1}{16}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{17}+\frac{1}{18}+...+\frac{1}{32}>16.\frac{1}{32}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow S>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)

b) Ta thấy:

\(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}< 3.\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{6}+...+\frac{1}{11}< 6.\frac{1}{6}\)

\(\frac{1}{12}+...+\frac{1}{23}< 12.\frac{1}{12}\)

\(\frac{1}{24}+...+\frac{1}{32}< 9.\frac{1}{24}\)

\(\Rightarrow S< \frac{1}{2}+1+1+1+\frac{9}{24}=\frac{31}{8}< \frac{9}{2}\)

khôngn đăng lại

1)Ta thấy nếu số đó công với 4 thì chia hết cho cả 3 số

Gọi số phải tìm là A

Ta có A + 4 chia hết cho 5 , 7 , 9

Mà A nhỏ nhất nên A + 4 = 5 . 7 . 9 = 315

Do đó A = 315 - 4 = 311

2)a)Ta có S = 2^1 + 2^2 +2^3 +...+ 2^100

S = ( 2^1 + 2^2 + 2^3 +2^4 ) +...+( 2^97 + 2^98 + 2^99 + 2^100 )

S = 1( 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 ) +...+ 2^96( 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 )

S = 1.30 +...+2^96.30

S = ( 1 +...+2^96 )30

Vì 30 chia hết cho 15 nên ( 1 +...+2^96 )30 chia hết cho 15

Hay S chia hết cho 15

b) Vì S cha hết cho 30 nên S chia hết cho 10

Suy ra S có tận cùng là 0

c) S = 2^1 + 2^2 + 2^3 +...+2^100

2S = 2^2 + 2^3 + 2^4 +...+ 2^101

2S - S =( 2^2 + 2^3 +...+ 2^101 ) - ( 2^1 + 2^2 + ... + 2^100 )

S = 2^101 - 2^1

S = 2^101 - 2

1. 158

2a. 0 ( doan nha )

b.S = ( 2 + 2^2 +2^3+2^4) + ( 2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 ) +...+ ( 2^97 + 2^ 98 + 2^99 +2^100 )

      = 2.( 1+2+2^2+2^3 ) + 2^5. ( 1+2+2^2+2^3)+2^97.( 1+2+2^2+2^3)

      = 2.15+2^5.15+...+2^97.15

      = 15.(2+2^5+...+2^97) chia het 15

c.2^101-2^1

3. chiu !

Ta thấy A gồm có 99 số hạng nên ta nhóm mỗi nhóm 3 số hạng.

Ta có: A = 1 + 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁵ +...+ 5⁹⁷ + 5⁹⁸ + 5⁹⁹

             = (1 + 5 + 5² )+ (5³ + 5⁴ + 5⁵ )+...+( 5⁹⁷ + 5⁹⁸ + 5⁹⁹ )

             =(1 + 5 + 5² )+ 5³(1 + 5 + 5² ) +...+ 5⁹⁷(1 + 5 + 5² )

             = ( 1 + 5 + 5²)(1 + 5³+....+5⁹⁷)

             = 31(1 + 5³+....+5⁹⁷)

Vì có một thừa số là 31 nên A chia hết cho 31.

 P/s Đừng để ý câu trả lời của mình

Tính các tổng sau:

1, S=1-2+3_4+..+25-26

S =-1+3-5+7-...-53+55                       ( có 28 số hạng )

   = (-1+3)+(-5+7)+...+(-53+55)         ( có 28:2=14 nhóm )

   = 2+2+...+2

    = 2 . 14

     = 28

Á nhầm rùi xl bn nha

3 

S =-1+3-5+7-...-53+55     ( có 28 số hạng )

   = (-1+3)+(-5+7)+...+(-53+55)      ( có 28:2=14 nhóm )

   = 2+2+...+2

    = 2 . 14

     = 28