Để A đạt GTLN 

=> 6 - x  đạt GTNN 

=> 6 - x = 1 (Vì x nguyên) (nếu 6 - x < 0 thì A < 0 => A không đạt GTLN) 

=> x = 5

Vậy x = 5 thì A đạt GTLN

Trước tiên ta đi rút gọn biểu thức trên :

Đặt \(A=\left(\frac{x^2}{x^3-4x}+\frac{6}{6-3x}+\frac{1}{x+2}\right):\left(x-2+\frac{10-x^2}{x+2}\right)\)

ĐKXĐ : \(x\ne\pm2,x\ne0\)

Ta có : \(A=\left(\frac{x^2}{x^3-4x}+\frac{6}{6-3x}+\frac{1}{x+2}\right):\left(x-2+\frac{10-x^2}{x+2}\right)\)

\(=\left(\frac{x^2}{x\left(x^2-4\right)}+\frac{6}{3\left(2-x\right)}+\frac{1}{x+2}\right):\left(\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)+10-x^2}{x+2}\right)\)

\(=\left(\frac{x\cdot3-6\cdot\left(x+2\right)+3\cdot\left(x-2\right)}{3\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\right):\left(\frac{x^2-4+10-x^2}{x+2}\right)\)

\(=\frac{-18}{3\left(x-2\right)\left(x+2\right)}:\left(-\frac{6}{x+2}\right)\)

\(=\frac{-6}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\cdot\frac{x+2}{\left(-6\right)}=\frac{1}{x-2}\)

Để \(A\) nhận giá trị nguyên 

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x-2}\inℤ\) \(\Leftrightarrow1⋮x-2\) \(\Leftrightarrow x-2\inƯ\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow x-2\in\left\{-1,1\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{1,3\right\}\)  ( Thỏa mãn ĐKXĐ )

Vậy : \(x\in\left\{1,3\right\}\) thì A nhận giá trị nguyên.

Q= \(\frac{2\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)+\(\frac{\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)= \(\frac{2\sqrt{x}-9-\left(x-9\right)+2x-3\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)=\(\frac{x-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)=\(\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)=\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)

b) Q <1 <=> \(\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}< 1< =>1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\)<1 <=> \(\frac{4}{\sqrt{x}-3}< 0\) <=> \(\sqrt{x}-3< 0< =>\sqrt{x}< 3\)<=> \(0\le\)x< 9

c) Q = 1 \(+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\) là số nguyên khi 4 chia hết cho\(\sqrt{x}-3\) <=> \(\sqrt{x}-3=1;\sqrt{x}-3=-1;\sqrt{x}-3=2\);\(\sqrt{x}-3=-2;\sqrt{x}-3=4;\sqrt{x}-3=-4\)

<=> x= 16; x = 4; x = 25; x = 1 ; x = 49

Bài làm của bạn Mạnh có hai lỗi:

+) ĐKXĐ: \(\hept{\begin{cases}x-5\sqrt{x}+6\ne0;\sqrt{x}-2\ne0;3-\sqrt{x}\ne0\\x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne4;9\end{cases}}\)

+) Vì ko có điều kiện nên câu c chưa loại nghiệm. x = 4 loại nhé

\(A=1-\left(\frac{2}{1+2\sqrt{x}}-\frac{5\sqrt{x}}{4x-1}-\frac{1}{1-2\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{4x+4\sqrt{x}+1}\)

\(=1-\left(\frac{2\left(1-2\sqrt{x}\right)+5\sqrt{x}-1-2\sqrt{x}}{\left(1+2\sqrt{x}\right)\left(1-2\sqrt{x}\right)}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{\left(1+2\sqrt{x}\right)^2}\)

\(=1-\frac{1-\sqrt{x}}{\left(1+2\sqrt{x}\right)\left(1-2\sqrt{x}\right)}.\frac{\left(1+2\sqrt{x}\right)^2}{\sqrt{x}-1}=1-\frac{1+2\sqrt{x}}{1-2\sqrt{x}}=2-\frac{2}{1-2\sqrt{x}}\)

để A là số nguyên thì \(1-2\sqrt{x}\) là ước của 2 khi đó ta tìm được \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}\)