nếu B âm thì 1 trong 2 a,b phải âm

nếu C âm thì c âm

\(\Rightarrow\)A = âm * âm * dương

1.

\(\frac{-2}{3}x^3y^4.\left(\frac{-5}{9}x^5y\right).3y^7=\left[\left(\frac{-2}{3}\right).\left(\frac{-5}{9}\right).3\right]\left(x^3y^4x^5yy^7\right)=\frac{10}{9}x^8y^{12}\ge0\)

Vậy 3 đơn thuc trên không thể có cùng gt âm (vì nếu cùng âm thì tích của chúng phải âm)

2.

\(A+B=7x^2-5xy+2y^7+\left(5x^2+3xy-y\right)\)

\(=7x^2-5xy+2y^7+5x^2+3xy-y\)

\(=\left(7x^2+5x^2\right)+\left(-5xy+3xy\right)+2y^7-y\)

\(=12x^2-2xy+2y^7-y\)

A-B tương tự

Bài 1:

\(BDT\Leftrightarrow\sqrt{\frac{3}{a+2b}}+\sqrt{\frac{3}{b+2c}}+\sqrt{\frac{3}{c+2a}}\le\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT AM-GM ta có: 

\(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\ge\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2b}}\ge\frac{9}{\sqrt{\left(1+2\right)\left(a+2b\right)}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{a+2b}}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có: 

\(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{b+2c}};\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{c+2a}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(3\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\ge3\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Bài 2: làm mãi ko ra hình như đề sai, thử a=1/2;b=4;c=1/2

Bài 2/

\(\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2c+b^2a}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}\)

\(=\frac{b^2c^2}{a^2b^2c+a^2c^2b}+\frac{c^2a^2}{b^2c^2a+b^2a^2c}+\frac{a^2b^2}{c^2a^2b+c^2b^2a}\)

\(=\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{c^2a^2}{bc+ba}+\frac{a^2b^2}{ca+cb}\)

\(\ge\frac{\left(bc+ca+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)

\(\ge\frac{3\sqrt[3]{ab.bc.ca}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu =  xảy ra khi \(a=b=c=1\)

bạn alibaba dòng thứ nhất rồi sao ra được dòng thứ hai á bạn mình k hiểu

\(4.\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2+abc}{a^2b+b^2c+c^2a+abc}-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{a^2b+b^2c+c^2a+abc}-2.\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-2\left(a^2b+b^2c+c^2a+abc\right)\right]}{\left(a^2b+b^2c+c^2a+abc\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left[\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\right]^2}{\left(a^2b+b^2c+c^2a+abc\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)

Bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Vậy ta có điều phải chúng minh. Dấu hằng đẳng thức xảy ra khi  \(a=b=c\)

-Chúc bạn học tốt-

ab-a-b-1=(a-1)(b-1)

bc-b-c-1=(b-1)(c-1)

ca-a-c-1=(c-1)(a-1)

nhân lại ta được (a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2

do đó suy ra đầu bài

ta có ab-a-b+1=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1) (1)

tương tự bc-b-c+1=(b-1)(c-1) (2)  ; ca-c-a+1=(c-1)(a-1) (3)

từ (1),(2),(3) suy ra (ab-a-b+1)(bc-b-c+1)(ca-c-a+1)=(a-1)(b-1)(b-1)(c-1)(c-1)(a-1)=\(^{\left(a-1\right)^2}\)\(^{\left(b-1\right)^2}\)\(^{\left(c-1\right)^2}\)>=0 với mọi a;b;c

suy ra các biểu thức đã cho ko thể cùng có giá trị âm 

  mk trả lời có giif sai sót thì xin bỏ quá cho nha link cho mk nhé thanks

Từ \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) \(\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\) (tính chất tỉ lệ thức)

Đặt \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=k\) \(\left(k\ne0\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=ck\\b=dk\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\dfrac{a-2c}{b-2d}=\dfrac{ck-2c}{dk-2d}=\dfrac{c\times\left(k-2\right)}{d\times\left(k-2\right)}=\dfrac{c}{d}\) \(\left(1\right)\)

\(\dfrac{a+2c}{b+2d}=\dfrac{ck+2c}{dk+2d}=\dfrac{c\times\left(k+2\right)}{d\times\left(k+2\right)}=\dfrac{c}{d}\) \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{a-2c}{b-2d}=\dfrac{a+2c}{b+2d}\)

Vậy \(\dfrac{a-2c}{b-2d}=\dfrac{a+2c}{b+2d}\) \(\left(đpct\right)\).

a/b=a+2c/b+2d