Lời giải:

Ta có:
$f(1)=a+b+c$
$f(-2)=4a-2b+c$

$\Rightarrow 2f(-2)+3f(1)=2(4a-2b+c)+3(a+b+c)=11a-b+5c=0$

$\Rightarrow f(-2)=\frac{-3}{2}f(1)$

Vì $\frac{-3}{2}<0$ nên $f(-2)$ và $f(1)$ không thể cùng dấu.

Ta có: 

f(1)=a+b+c

f(-1)=a-b+c

f(2)=4a+2b+c

=> f(1)+f(2)+f(-1)=6a+2b+3c=0

=> 3 số f91), f(-1), f(2) không thể cùng âm hoặc cuàng dươg

\(f\left(1\right)=a+b+c;f\left(5\right)=25a+5b+c\)

\(f\left(1\right)+f\left(5\right)=a+b+c+25a+5a+c=26a+6a+2c=2\left(13a+3a+c\right)>0\)

\(f\left(1\right)=a.\left(1^2\right)+b.1+c=a.b.c\)

\(f\left(5\right)=5^2.a+b.5+c=25a+5b+c\)

\(f\left(1\right)+f\left(5\right)=a+b+c+25a+5b+c\)

\(f\left(1\right)+f\left(5\right)=26a+6b+2c=2.13a+2.3b+2c=2\left(13a+3b+c\right)>0\)

a: f(1)=a+b+c=0

=>x=1 là nghiệm

b: Vì 5-6+1=0

nên f(x)=5x^2-6x+1 có một nghiệm là x=1

Cho `x=0`

`=> f(0) = a.0^2 + b.0 + c`

`=> f(0) = c`

Mà tại `x=0` thì `f(x)` là số nguyên do đó `c` là số nguyên

Cho `x=1`

`=> f(1) = a.1^2 + b.1+c`

`=> f(1)= a+b+c`  (1) 

Mà tại `x=1` thì `f(x)` là số nguyên do đó a+b+c là số nguyên, mặt khác c là số nguyên nên `a+b` là số nguyên

Cho `x= -1`

`=> f(-1) = a.(-1)^2 + b.(-1)+c`

`=> f(-1) = a -b+c` (2)

Từ `(1)` và `(2)`

`=>f(1) + f(-1) =  a+b+c + a-b+c`

`= 2a + 2c` là số nguyên do `f(1)` và `f(-1)` là những số nguyên

Mà `c` là số nguyên nên `2c` là số nguyên

`=> 2a` là số nguyên

Vậy `2a ; a+b ,c` là những số nguyên