2. 

Gọi x;x+1;x+2;x+3 là 4 số tự nhiên liên tiếp ( x\(\in\) N)

 Ta có : x (x+1) (x+2 ) (x+3 ) +1 

 =(  x² + 3x ) (x² + 2x + x +2 )  +1 

= (  x² + 3x ) (x² +3x + 2 ) +1  (*)

Đặt t = x² + 3x  thì  (* ) =  t ( t+2 ) + 1=  t² + 2t +1  =  (t+1)²  = (x² + 3x + 1 )²

=>  x (x+1) (x+2 ) (x+3 ) +1  là số chính phương 

hay tích 4 số tự nhiên liên tiếp  cộng  1 là số chính phương 

Gọi x;x+1;x+2;x+3 là 4 số tự nhiên liên tiếp ( x

∈

∈ N)

 Ta có : x (x+1) (x+2 ) (x+3 ) +1 

 =( x2 + 3x ) (x2 + 2x + x +2 ) +1 

= ( x2 + 3x ) (x2 +3x + 2 ) +1 (*)

Đặt t = x2 + 3x thì (* ) = t ( t+2 ) + 1= t2 + 2t +1 = (t+1)2 = (x2 + 3x + 1 )2

=> x (x+1) (x+2 ) (x+3 ) +1 là số chính phương 

hay tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là số chính phương 

Ta có A = 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰

2A = 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2²¹

2A - A = ( 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2²¹ ) - (  2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰ )

⇒ A + 4 = 2²¹ - 2² + 4 = 2²¹ - 4 + 4 = ( 2⁴ )⁵ . 2 = ( ...6 )⁵ . 2 = ( ...6 ) . 2 = ( ...2 )

Vì không có số chính phương nào có tận cùng là chữ số 2 nên A + 4 không phải là số chính phương

a: \(\dfrac{3}{4}A=\dfrac{3}{4}-\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+...+\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2021}\)

=>\(\dfrac{7}{4}\cdot A=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2021}+1\)

=>\(A\cdot\dfrac{7}{4}=\dfrac{3^{2021}+4^{2021}}{4^{2021}}\)

=>\(A=\dfrac{3^{2021}+4^{2021}}{4^{2020}\cdot7}\)

b: Vì 3^2021+4^2021 ko chia hết cho 4^2020*7 nên A ko là số nguyên