Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\\\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2}\\\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\end{cases}}\). Cộng theo vế ta có:

\(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=1\le\frac{x+y+y+z+x+z}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z\)

Do đó ta có: \(x+y+z\ge1\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta cũng có:

\(A\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+y+z+x+z}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}=a\) ( ĐK a > 0 )

=> A = a + 1/a 

(*)  \(\left(x+y+1\right)^2\ge3\left(xy+x+y\right)\)( Nhân 2 vế với hai sau đưa về hằng đẳng thức ) 

=> \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}\ge3\Leftrightarrow a\ge3\)

TA có \(A=a+\frac{1}{a}=\frac{a}{9}+\frac{1}{a}+\frac{8a}{9}\ge2\sqrt{\frac{a}{9}\cdot\frac{1}{a}}+\frac{8\cdot3}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)

Vậy GTNN của A là 10/3 tại x = y= 1 

\(1,A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)

                                             \(\ge\frac{4}{\left(x+y^2\right)}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\ge\frac{4}{1}+\frac{2}{1}=6\)

Dấu "=" <=> x= y = 1/2

\(2,A=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{9y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{8x}{9y}\ge2\sqrt{\frac{x}{9y}.\frac{y}{x}}+\frac{8.3y}{9y}\)

                                                                                                  \(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)

Dấu "=" <=> x = 3y

bài 3 min hay max ?

Bài 1 dùng tam thức bậc 2, bài 2 chia cả tử và mẫu cho y², đặt x/y=t rồi làm tương tự bài 1

Đặt \(\dfrac{x}{y}=t\)

\(Q=\dfrac{\dfrac{x^2-xy+2y^2}{y^2}}{\dfrac{x^2-xy+y^2}{y^2}}=\dfrac{\dfrac{x^2}{y^2}-\dfrac{x}{y}+2}{\dfrac{x^2}{y^2}-\dfrac{x}{y}+1}=\dfrac{t^2-t+2}{t^2-t+1}\)

\(\Rightarrow Qt^2-Qt+Q=t^2-t+2\Leftrightarrow t^2\left(Q-1\right)-t\left(Q-1\right)+Q-2=0\)

\(\Delta=\left(Q-1\right)^2-4\left(Q-1\right)\left(Q-2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow1\le Q\le\dfrac{7}{3}\)