A = 1 + 2¹ + 2² + 2³ + ...+ 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹

A = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + ...+ 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹

Xét dãy số:0; 1; 2; 3;...; 100; 101

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 1 - 0 = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (101 - 0) : 1 + 1  = 102 (số) 

Vì 102 : 3 = 34 

Vậy nhóm ba số hạng liên tiếp của A vào nhau ta được 

A = (1 + 2¹ + 2²) + (2³ + 2⁴ + 2⁵) + ...+ (2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹)

A = (1 + 2¹ + 2²) + 2³.(1 + 2¹ + 2²) + ...+ 2⁹⁹.(1 + 2¹ + 2²)

A = (1 + 2¹ + 2²).(1 + 2³ + ...+ 2⁹⁹)

A = 7.(1 + 2³ + ...+ 2⁹⁹) ⋮ 7 (đpcm)

Ta có

  2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 +...+ 2 98 + 2 99 + 2 100

= 2 1 + ( 2 2 + 2 3 + 2 4 ) + ( 2 5 + 2 6 + 2 7 ) +...+ ( 2 98 + 2 99 + 2 100 )

= 2 + 2 2 1 + 2 + 2 2 + 2 5 1 + 2 + 2 2 + . . . + 2 98 1 + 2 + 2 2

= 2 + 2 2 . 7 + 2 5 . 7 + . . . + 2 98 . 7 = 2 + 7 2 2 + 2 5 + . . . + 2 98

Mà  7 . 2 2 + 2 5 + . . . + 2 98 ⋮ 7  

Nên  2 + 7 2 2 + 2 5 + . . . + 2 98 : 7   d ư   2

Ta có A=2⁰+2¹+2²+2³+...2¹⁰⁰

2A=2¹+2²+...+2¹⁰¹

2A-A=(2¹+2²+...+2¹⁰⁰)-(2⁰+2¹+...+2¹⁰⁰)

A=2¹⁰¹-1

Mà 2¹⁰¹-1=(........02)-1=........01 chia 100 dư 1

Chúc bạn học tốt.

*Sửa lại đề*

A = 2¹+ 2²+ 2³+ 2⁴ + .. + 2¹⁰⁰

A = (2¹+2²) + (2³+ 2⁴) +...+ (2⁹⁹+ 2¹⁰⁰)

A = 2.(1+2) + 2³.(1+2) + .. + 2⁹⁹. (1+2)

A = 2.3 + 2³. 3 + .. + 2⁹⁹.3

A = 3 . (2¹ + 2³ + .... + 2⁹⁹)

Mà 3 chia hết cho 3 

=> A chia hết cho 3

Đặt A = \(1+2+2^2+2^3+2^4+....+2^{100}\)

2A = \(2\left(1+2+2^2+2^3+2^4+....+2^{100}\right)\)

= \(2+2^2+2^3+2^4+2^5+...+2^{101}\)

2A - A = \(\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5+....+2^{101}\right)-\left(1+2^2+2^3+2^4+...+2^{100}\right)\)

= \(2^{101}-1\)

Nếu bạn bt lm r thì ko nên ra câu hỏi nx đâu .

\(A=2^{100}-2^{99}+2^{98}-2^{97}+....-2^3+2^2-2+1\\ A=\left(2^{100}+2^{98}+...+2\right)-\left(2^{99}+2^{97}+...+1\right)\)

Gọi \(\left(2^{100}+2^{98}+...+2\right)\)là B

\(B=\left(2^{100}+2^{98}+...+2\right)\\ 2B=2^{102}+2^{100}+.....+2^2\\ 2B-B=\left(2^{102}+2^{100}+.....+2^2\right)-\left(2^{100}+2^{98}+...+2\right)\\ B=2^{102}-2\)

Gọi \(\left(2^{99}+2^{97}+...+1\right)\) là C

\(C=\left(2^{99}+2^{97}+...+1\right)\\ 2C=2^{101}+2^{99}+....+2\\ 2C-C=\left(2^{101}+2^{99}+9^{97}+...+2\right)-\left(2^{99}+9^{97}+...+1\right)\\ C=2^{101}-1\)

\(A=B+C\\ =>A=2^{102}-2+2^{101}-1\\ A=2^{101}\left(2+1\right)-3\\ A=2^{101}\cdot3-3\\ A=3\cdot\left(2^{101}-1\right)\)

\(\dfrac{1}{2}A=2^{99}-2^{98}+...-1+\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow A-\dfrac{1}{2}A=2^{100}-\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow A=2^{101}-1\)

Có : \(S=1+2+2^2+2^3+....+2^{99}\)

\(\Rightarrow2S=2+2^2+2^3+....+2^{100}\)

\(\Rightarrow2S-S=\left(2+2^2+2^3+...+2^{100}\right)-\left(1+2+2^2+....+2^{99}\right)\)

\(\Rightarrow S=2^{100}-1< 2^{100}\)

Vậy \(S< 2^{100}\)

 S=1+2+2²+2³+....+2⁹⁹

⇒2S=2+2²+2³+....+2¹⁰⁰

⇒2S−S=2¹⁰⁰-1

S=2¹⁰⁰-1

vì 2¹⁰⁰ -1<2¹⁰⁰

⇒S<2¹⁰⁰