-Ta có: \(n^4+n^2+1=\left(n^4+n^3+n^2\right)+\left(-n^3-n^2-n\right)+\left(n^2+n+1\right)=n^2\left(n^2+n+1\right)-n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)=\left(n^2+n+1\right)\left(n^2-n+1\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{n^2+n+1}{n^4+n^2+1}=\dfrac{n^2+n+1}{\left(n^2+n+1\right)\left(n^2-n+1\right)}=\dfrac{1}{n^2-n+1}\).

-Vậy \(\dfrac{n^2+n+1}{n^4+n^2+1}\left(n\in Nsao\right)\) không là phân số tối giản. 

Gọi d là ước chung lớn nhấn của n và n + 1

Khi đó : n chia hết cho d , n + 1 chia hết cho d

=> n + 1 - n chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

Vậy phân số \(\frac{n}{n+1}\) tối giản với mọi n 

Gọi d là ƯC của n,n + 1

Như vậy : n chia hết cho d

Suy ra : 1 chia hết cho d ----> d = 1

Vậy n với n + 1 là nguyên tố cùng nhau

Vậy ...

Gọi d là ƯCLN(n, n+1)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n⋮d\\n+1⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)-n⋮d\)

\(\Rightarrow n+1-n⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n-n\right)+1⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\frac{n}{n+1}\)là phân số tối giản

Gọi d là ƯC(n;n+1) (1)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n⋮d\\n+1⋮d\end{cases}}\Rightarrow n+1-n⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n-n\right)+1⋮d\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\RightarrowƯC\left(n;n+1\right)=\left\{1;-1\right\}\)

=> \(\frac{n}{n+1}\) là phân số tối giản với mọi n thuộc N*

N* mà bạn. sao lại có -1 vậy

Trả lời:

Gọi a là UCLN của n và (n+1), ta có:

n mod a=0 (1)

và (n+1) mod a=0 (2)

Từ (1) và (2), ta có:

(n+1) -n mod a =0

=> 1 mod a=0

=> a=1

vậy n và (n+1) nguyên tố cùng nhau

=> Phân số đã cho tối giản.

Gọi ƯC(n; n+1) là d
khi đó n chia hết cho d
          n+1 chia hết cho d
Vậy [(n+1)-n] chia hết cho d
1 chia hết cho d
Suy ra d = cộng trừ 1
Vậy     n      là phân số tối giản
         n+1 
 

Gọi ước chung lớn nhất của 15n + 1 và 30n + 1 là d (d thuộc N*) 
=> 15n + 1 chia hết cho d 
30n + 1 chia hết cho d 
=> 2(15n + 1) chia hết cho d 
1(30n + 1) chia hết cho d 
=> 30n + 2 chia hết cho d 
30n + 1 chia hết cho d 
=>(30n + 2) - (30n + 1) chia hết cho d 
=> 1 chia hết cho d 
Do d thuộc N* 
=> d=1 
=>Ước chung lớn nhất của 15n + 1 và 30n + 1 là 1 
=> 15n +1 và 30n + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau 
=>15n + 1/30n + 1 là phân số tối giản với n thuộc N (điều phải chứng minh)