Ta có : \(-x+\sqrt{x}=-\left(x-\sqrt{x}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}=-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)

       \(\Rightarrow f\left(x\right)=3^{-x+\sqrt{x}}\le3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}\Rightarrow\) Max \(f\left(x\right)=\sqrt[4]{3}\) khi \(x=\frac{1}{4}\)

Không có giá trị Min

\(\Leftrightarrow\sqrt{2t^2+mt-m-1}=t-1\) có 2 nghiệm thỏa mãn \(1\le t< 3\)

\(\Rightarrow2t^2+mt-m-1=t^2-2t+1\)

\(\Leftrightarrow f\left(t\right)=t^2+\left(m+2\right)t-m-2=0\) có 2 nghiệm \(1< t_1< t_2< 3\) (hiển nhiên \(t=1\) ko là nghiệm)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m+2\right)^2+4\left(m+2\right)>0\\f\left(1\right)=1>0\\f\left(3\right)=9+3\left(m+2\right)-m-2>0\\1< \dfrac{t_1+t_2}{2}=\dfrac{-m-2}{2}< 3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+2\right)\left(m+6\right)>0\\2m+13>0\\2< -m-2< 6\\\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>-2\\m< -6\end{matrix}\right.\\m>-\dfrac{13}{2}\\-8< m< -4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\dfrac{13}{2}< m< -6\)

gọi T là tập hợp giá trị của F

\(\begin{cases}\sqrt[3]{x}\left(\sqrt[3]{x}-1\right)+\sqrt[3]{y}\left(\sqrt[3]{y}-1\right)=\sqrt[3]{xy}\\\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{xy}=m\end{cases}\)

Đặt S = \(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y},P=\sqrt[3]{xy}\) điều kiện \(S^2\ge4P\)hệ 1 trở thành 

\(\begin{cases}S^2-S-3P=0\\S+P=m\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}S^2+2S-3m=0\\P=m-s\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}m=\frac{S^2+2S}{3}\\P=\frac{S^2-S}{3}\end{cases}\)

Ta có \(S^2\ge4P\Leftrightarrow S^2\ge\frac{4S^2-4S}{3}\Leftrightarrow s^2-4S\le0\Leftrightarrow0\le S\le4\)

từ đó , hệ 1 có nghiệm \(\Leftrightarrow\)hệ 2 có nghiệm (S;P) thỏa mãn \(S^2\ge4P\Leftrightarrow\)phương trình \(S^2+2S-3m=0\)có nghiệm S thỏa mãn điều kiện 0\(0\le S\le4\)tức là

\(\Delta'=1+3m\ge0\)và \(\left[\begin{array}{nghiempt}0\le-1-\sqrt{1+3m}\le4\\0\le-1+\sqrt{1+3m}\le4\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}m\ge-\frac{1}{3}\\1\le\sqrt{1+3m}\le5\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(0\le m\le8\)

vậy max F=8, min=0

Ta có :

\(f'\left(x\right)=\frac{-\frac{\frac{1}{x}}{2\sqrt{\ln x}}}{\ln x}=-\frac{1}{2x\ln x\sqrt{\ln x}}< 0\) với mọi \(x\in\left[e;e^2\right]\Rightarrow\) hàm số nghịch biến với mọi \(x\in\left[e;e^2\right]\)

\(e\le x\le e^2\Rightarrow f\left(e\right)\ge f\left(x\right)\ge f\left(e^2\right)\Leftrightarrow1\ge f\left(x\right)\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\)

                 \(\Leftrightarrow\begin{cases}Max_{x\in\left[e;e^2\right]}f\left(x\right)=1;x=e\\Min_{x\in\left[e;e^2\right]}f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2};x=e^2\end{cases}\)

\(f\left(x\right)=\left(\ln x\right)^{-\frac{1}{2}}\Rightarrow f'\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(\ln x\right)^{-\frac{3}{2}}.\frac{1}{x}=-\frac{1}{2x\ln x\sqrt{\ln x}}\)

Ta có : \(\begin{cases}f\left(e\right)=1\\f\left(e^2\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}Max_{x\in\left[e;e^2\right]}f\left(x\right)=1;x=e\\Min_{x\in\left[e;e^2\right]}f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2};x=e^2\end{cases}\)