Vì tam giác ABC vuông tại A có góc C = 30 độ

=> \(\hept{\begin{cases}AB=\frac{AC}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}\left(cm\right)\\BC=\frac{2AC}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}\left(cm\right)\end{cases}}\)

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ta có:

\(\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{\frac{3}{\sqrt{3}}}{\frac{6}{\sqrt{3}}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{DC}{AD}=2\)

\(\Leftrightarrow\frac{DC}{AD}+1=2+1\Leftrightarrow\frac{AC}{AD}=3\Rightarrow AD=\frac{AC}{3}=1\left(cm\right)\)

Vậy AD = 1 cm

a)Ta thấy: tam giác ABC là tam giác cân, do AD vuông góc BC nên AD vừa là đường cao của tam giác đồng thời vừa là tia phân giác, đường trung tuyến của tam giác của tam giác ABC. Do D thuộc đường cao AD, mà DE và DF lần lượt thuộc hai cạnh bên của tam giác nên DE=DF. Từ đó suy ra tam giác DEF cân.

b) Xét tam giác BED vuông tại E và tam giác CDF vuông tại F ta có:

DB=DC(AD là đường trung tuyến của tam giác cân ABC)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(tam giác ABC cân)

Suy ra \(\Delta BED=\Delta CDF\)(cạnh huyền - góc nhọn)

c) Theo đề bài, \(\widehat{ABC}=30^o\)nên lúc này \(\widehat{ACB}=30^{^{ }o}\)

Cũng từ đó: \(\widehat{BAC}=180^o-30^{^{ }o}-30^{^{ }o}=120^o\)

Do \(\widehat{BAC}\)kề bù với \(\widehat{MAB}\)nên \(\widehat{MAB}=180^{o^{ }}-120^o=60^o\)(1)

Lại thấy: AD vuông góc với BC, MB//AD nên MB vuông góc BC. Suy ra \(\widehat{ABC}\)phụ \(\widehat{MBA}\)và \(\widehat{MBA}=90^o-30^o=60^o\)(2)

Từ (1) và (2), suy ra \(\widehat{AMB}=180^o-60^{o^{ }}-60^o=60^o\)và tam giác ABM đều.

Xét tam giác BAD và tam giác BHD có:

\(\widehat{BAD}=\widehat{BHD}=90^0\)

BD là cạnh huyền chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\)(do BD là tia phân giác của góc B)

\(\Rightarrow\Delta BAD=\Delta BHD\)(cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow\)BA = BH; AD = DH (2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác DHC có HC > DC - DH (theo bất đẳng thức tam giác)\(\Rightarrow\)HC > DC - DA ( do AD = DH) (1)

Mà HC = BC - BH = BC - BA  ( do BA = BH ) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)BC - BA > DC - DA ( ĐPCM)

a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có

BD chung

góc ABD=góc EBD

=>ΔBAD=ΔBED

=>BA=BE và DA=DE

b: Xét ΔDAF vuông tại A và ΔDEC vuông tại E có

DA=DE

góc ADF=góc EDC

=>ΔDAF=ΔDEC

=>DF=DC>DE