Gọi đa thức đó là A ta có :

A chia x - 2 dư 5

A chia x - 3 dư 7

=> A chia (x-2)(x-3) dư 5*7 = 35
 

22-21-3213-3124-4-24-2-4-143

\(x^2-5x+6=\left(x-2\right)\left(x-3\right)\)

Giả sử \(f\left(x\right)\) chia cho \(x^2-5x+6\) được thương là\(Q\left(x\right)\)  và dư \(ax+b\)

=> \(f\left(x\right)=Q\left(x\right).\left(x-2\right)\left(x-3\right)+ax+b\)

Có \(f\left(x\right)\) chia cho x - 3 dư 7 ; chia cho x - 2 dư 5

=> \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(3\right)=7\\f\left(2\right)=5\end{matrix}\right.\) 

=> \(\left\{{}\begin{matrix}3a+b=7\\2a+b=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)

=> \(f\left(x\right)\)chia cho \(x^2-5x+6\) dư 2x + 1

Giả sử đa thức bị chia là m (x)

Gia sử  thương là : q( x )

Vì đa thức chia có bậc là 2 , Suy ra thương có bậc là 1

Suy ra , ta có : m( x ) =( x² - 5x + 6 )                 q( x ) = ax + b

Đi tìm X

x² - 5x + 6 = 0 

x² - 2x - 3x + 6 = 0

 x( x - 2) - 3(x - 2) = 0

 ( x - 2)( x - 3) = 0

Vậy  x = 2 hoặc x = 3

Ta có  giả thiết f( x ) chia cho x - 2 dư 5 ,từ đó ta được :

f( 2 ) = 5 

-> 2a + b = 5 ( 1)

Ta lại có giả thiết f( x ) chia cho x - 3 dư 7 ,Từ đó  ta được :

f( 3 ) = 7

-> 3a + b = 7 ( 2)

Từ ( 1  và  2) suy ra : a = 2 ; b = 1

Suy ra : f( x ) = ( x² - 5x + 6 )      Thay số  q( x ) = 2x + 1

Vậy dư là 2x +1 

Nhiều cách. Có thể trực tiếp chia, hoặc gán cho x 1 số giá trị nào đó, áp dụng định lý Bê-du , ...

\(=\dfrac{x^4+x^3+x^2+5x^3+5x^2+5x-11x^2-11x-11+3x+21}{x^2+x+1}\)

Vậy: Đa thức dư là 3x+21

\(=\left(x^4+x^3+x^2+5x^3+5x^2+5x-11x^2-11x-11+8x+21\right):\left(x^2+x+1\right)\\ =\left[x^2\left(x^2+x+1\right)+5x\left(x^2+x+1\right)-11\left(x^2+x+1\right)+8x+21\right]:\left(x^2+x+1\right)\\ =x^2+5x-11\left(\text{dư }8x+21\right)\)