\(A=4\left(x-1\right)+\frac{25}{x-1}+4\ge2\sqrt{\frac{100\left(x-1\right)}{x-1}}+4=24\)

\(A_{min}=24\) khi \(x=\frac{7}{2}\)

Ta dùng bđt Cô si nhé :) 

Do x > 1 nên x + 1 > 0. Từ đó ta có: 

\(A=4\left(x+1\right)+\frac{25}{x+1}-4\)

Áp dụng bđt Cosi ta có : \(4\left(x+1\right)+\frac{25}{x+1}\ge2\sqrt{\frac{4\left(x+1\right).25}{\left(x+1\right)}}=20\Rightarrow A\ge20-4=16\)

Vậy GTNN của A là 16, khi x = 1,5.

Bài 1 bạn phải dùng BDT Bunhiacopxki : ( ax +by )² <= ( nhỏ hơn bằng ) ( a² + b² )( x² + Y² )

Ở đây hệ số của x là 1 nên a là 1.

Ta có: ( x + 2y )² <= ( 1² + (căn2)² ) ( x² + ( căn 2 )²y² )

=> 1 <= 3 ( x² + 2y² )

=> x² + 2y² >= 1/3

Áp dụng bđt cô si với 2 số dương 4x và 1/4x ta có: 4x+1/4x  ≥  2(1)

Đặt (4√x +3)/ (x+1) =B ; √x =t => x=t^2

ta có  : B(t^2 +1) = 4t+3

<=>Bt^2 -4t+B-3=0

Xét delta =b^2 -4ac = 16-4B(B-3)= -4B^2 +12B+16  ≥  0(*) (Để phương trình có gtnn thì pt phải có nghiệm nên delta  ≥  0)

Từ (*) => B^2 -3B-4  ≤ 0

<=> (B-4)(B+1) ≤ 0
=> -1 ≤ B ≤ 4

=>-B ≥ -4(2)

TỪ (1) và (2) => A  ≥ 2+(-4)+2016=2014

Dấu = xảy ra <=> 4x=1/4x và B=4 (tự giải tìm x , ta sẽ được x = 1/4)

Xét \(B=\frac{x+1}{4\sqrt{x}+3}\Leftrightarrow16B=\frac{16x+16}{4\sqrt{x}+3}.\)\(=\frac{\left(4\sqrt{x}+3\right)\left(4\sqrt{x}-3\right)+25}{4\sqrt{x}+3}\)

\(=4\sqrt{x}-3+\frac{25}{4\sqrt{x}+3}=4\sqrt{x}+3+\frac{25}{4\sqrt{x}+3}-6\)

Áp dụng BĐT Cauchy

\(16B\ge2\sqrt{25}-6=4\Leftrightarrow B\ge\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}\ge-4\)

Áp dụng bđt Cauchy

\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{\frac{4x.1}{4x}}-4+2016=2014\)

Vậy Min A=2014 khi x=1/4

Áp dụng bdtd quen thuộc : 

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

Ta có :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Chứng minh bđt nha ( quên mất )

Áp dụng bđt Cauchy :

\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\end{cases}}\)

Nhân từng vế của 2 bđt ta được đpcm

Dấu "=" khi \(a=b=c\)

\(M=\frac{4x+1}{x^2+3}\)

\(\Leftrightarrow Mx^2+3M=4x+1\)

\(\Leftrightarrow Mx^2-4x+3M-1=0\)(1)

*Nếu M = 0 thì x =  ^-1/₄

*Nếu M khác 0 thì (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)

                                                     \(\Leftrightarrow4-M\left(3M-1\right)\ge0\)

                                                    \(\Leftrightarrow4-3M^2+M\ge0\)

                                                     \(\Leftrightarrow-1\le M\le\frac{4}{3}\)

a, 3x + \(\frac{4}{x+1}\)=> 3x +  \(\frac{4}{x+1}\)

để BT thuộc GTNN thì x+1 thuộc U(4)

=> x+1=1(x >= - 1)

=> x= 0

 b,  \(\frac{\text{x^2−8x+25}}{x}\)= (x-8)+\(\frac{25}{x}\)

=> (x-8) và 25/x min => x = 5 

\(\frac{\text{−x^2+4x+6}}{\text{x^2+2x+1 }}\)= ? 

i'm sorry 

i can't do your homework