Lời giải:

Gọi biểu thức cần rút gọn là $P$

Xét tử số: $\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{3}=\sqrt{3+2\sqrt{3.1}+1}-\sqrt{3}$

$=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}-\sqrt{3}=|\sqrt{3}+1|-\sqrt{3}=1$

Xét mẫu số:

Ta dự đoán sẽ rút gọn được $\sqrt[3]{17\sqrt{5}-38}$

Đặt $17\sqrt{5}-38=(a+\sqrt{5})^3$ với $a$ nguyên.
$\Leftrightarrow 17\sqrt{5}-38=a^3+15a+\sqrt{5}(3a^2+5)$

$\Rightarrow 17=3a^2+5$ và $-38=a^3+15a$

$\Rightarrow a=-2$

Vậy $17\sqrt{5}-38=(-2+\sqrt{5})^3$

$\Rightarrow (\sqrt{5}+2)\sqrt[3]{17\sqrt{5}-38}=(\sqrt{5}+2)(-2+\sqrt{5})=1$

Vậy $P=\frac{1}{1}=1$

Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ko âm \(\sqrt{a}\) và \(\sqrt{b}\) ta được:

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge2\sqrt{\sqrt{ab}}\)

Suy ta: \(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\frac{2\sqrt{ab}}{2\sqrt{\sqrt{ab}}}=\sqrt{\sqrt{ab}}=\sqrt[4]{ab}\)

=>điều cần chứng minh

bai de the nay ma cung phai hoi

de p ko pt ms hoi 

@Nguyễn Thị Thu Sương :

\(\frac{\sqrt{3+\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{3+\sqrt{15}}{2}}\)

\(=\sqrt{\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{5-3}}\)

\(=\sqrt{\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}\)

a) \(\left(\sqrt{12}-\sqrt{27}+\sqrt{3}\right):\sqrt{3}\)

\(=\left(2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+\sqrt{3}\right):\sqrt{3}\)

\(=\sqrt{3}\left(2-3+1\right):\sqrt{3}\)

\(=0:\sqrt{3}=0\)

b) \(\left(5\sqrt{3}+3\sqrt{5}\right):\sqrt{15}\)

\(=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{15}}+\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{15}}\)

\(=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}+\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}\)

\(=\sqrt{5}+\sqrt{3}\)

Nguyễn Thị Thu Sương b) có cách khác nữa nè ( cơ bản là giống :v )

\(\left(5\sqrt{3}+3\sqrt{5}\right):\sqrt{15}\)

\(=\left(\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}\right):\left(\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}\right)\)

\(=\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}\cdot\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right):\left(\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}\right)\)

\(=\sqrt{5}+\sqrt{3}\)