Ta có nghiệm của đa thức là giá trị của biến làm đa thức có giá trị bằng
Nếu f(a) = 0 => a là nghiệm của f(x).
Do: x.f(x + 1) = (x + 2).f(x) (1) đúng với mọi x.
+ Thay x = 0 vào (1) ta được
0.f(0 + 1) = (0 + 2).f(0)
=> 0 = 2.f(0)
=> f(0) = 0
Do f(0) = 0 => x = 0 là 1 nghiệm của đa thức trên. (2)

+ Thay x = -2 vào (1) ta được:
(-2).f(-2 + 1) = (-2 + 2).f(-2)
=> (-2).f(-1) = 0.f(-2)
=> (-2).f(-1) = 0
=> f(-1) = 0
=> x = -1 là 1 nghiệm của đa thức trên (3)
Từ (2) và (3) => đa thức đã cho có ít nhất 2 nghiệm là x = 0 và x = -2

thấy xinh ko

\(Q\left(x\right)=-3x^4+4x^3+2x^2+\dfrac{2}{3}-3x-2x^4-4x^3+8x^4+1+3x\)
\(=\left(-3x^4-2x^4+8x^4\right)+\left(4x^3-4x^3\right)+2x^2-\left(3x-3x\right)+\left(1+\dfrac{2}{3}\right)\)
\(=3x^4+2x^2+\dfrac{5}{3}\)
\(3x^4+2x^2+\dfrac{5}{3}=0\)
\(\Rightarrow3x^4+2x^2=-\dfrac{5}{3}\)(Vô lí vì \(3x^4\) và \(2x^2\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0)
Vậy Q(x) không có nghiệm

Q(x)=3x^4+2x^2+5/3>=5/3>0 với mọi x

=>Q(x) vô nghiệm

H(x)=\(-\frac{5}{4}x^2+\frac{5}{3}x-3\)

Áp dụng CT giải PT bậc 2 ta có: \(\Delta=b^2-4ac=\frac{25}{9}-15=-\frac{110}{9}\)

Vì đenta <0 suy ra pt vô nghiệm (DPCM)

\(P\left(0\right)=3.0^4+0^3-0^2+\dfrac{1}{4}.0=0+0-0+0=0\)

\(Q\left(0\right)=0^4-4.0^3+0^2-4=0-0+0-4=-4\)

vậy Chứng tỏ x=0 là nghiệm của đa thức P(x), nhưng không phải là nghiệm của đa thức Q(x)

thu gọn

\(P\left(x\right)=3x^4+x^3\left(-2x^2+x^2\right)+\dfrac{1}{4}x=3x^4+x^3-x^2+\dfrac{1}{4}x\)

\(Q\left(x\right)=x^4-4x^3+\left(3x^2-2x^2\right)-4=x^4-4x^3+x^2-4\)

Lời giải:
Ta thấy:

$P(0)=-2.0^2+3.0^4+0^3+0^2-\frac{1}{4}.0=0$ nên $x=0$ là nghiệm của $P(x)$

$Q(0)=0^4+3.0^2-4-4.0^3-2.0^2=-4\neq 0$

Do đó $x=0$ không phải nghiệm của $Q(x)$

Ta có:\(x^2+3x+10=x^2+2.\frac{3}{2}.x+\left(\frac{3}{2}\right)^2+10-\left(\frac{3}{2}\right)^2\)

\(=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+10-\frac{9}{4}=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{31}{4}\)

Vì \(\left(x+\frac{3}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{31}{4}\ge\frac{31}{4}>0\) nên đa thức vô nghiệm

Ta có: h(x)=x^2+3x+10

               =x^2+1,5x+1,5x+2,25+7,75

               =x(x+1,5)+1,5(x+1,5)+7,75

              =(x+1,5)(x+1,5)+7,75

              =(x+1,5)^2+7,75

Vì (x+1,5)^2>=0 với mọi x

Nên (x+1,5)^2+7,75>0 hay h(x)>0

Do đó h(x) vô nghiệm (Đpcm)

Ta có \(x^4\ge0\) ( lũy thừa bậc chẵn)

\(3x^2\ge0\) ( vì x² là lũy thừa bậc chẵn nên lớn hơn 0 )

=> A(x) > 0

Vậy đa thức A(x) ko có nghiệm

Ta có : \(x^4>=0\);\(3x^2>=0\); \(1>0\)

=> \(x^4+3x^2+1>0\)

=> PTVN

A(x)=x⁴ + 3x² +1

Vì x⁴ \(\ge\)0 ; x² \(\ge\)0 ->3x^2 \(\ge\)0 -> x^4 +3x^2+1\(\ge\)1 -> A(x) không có nghiệm với mọi giá trị x