refer

https://olm.vn/hoi-dap/detail/1303479279140.html

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

\(\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)=2\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

\(\left(x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1+y+1+x\right)=x+y+2=2+\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\ge\sqrt{2+\sqrt{2}}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Xét \(P=x^2+y^2+2x\left(y-1\right)+2y+1\) 

\(P=x^2+y^2+2xy-2x+2y+1\)

+) Nếu \(y>x\) thì \(2y-2x+1>0\). Do đó \(P>\left(x+y\right)^2\). Hơn nữa:

\(P< x^2+y^2+1+2xy+2x+2y\) \(=\left(x+y+1\right)^2\), 

suy ra \(\left(x+y\right)^2< P< \left(x+y+1\right)^2\), vô lí vì P là SCP.

+) Nếu \(x>y\) thì \(2y-2x+1< 0\) nên \(P< \left(x+y\right)^2\)

Hơn nữa \(P>x^2+y^2+1+2xy-2x-2y\) \(=\left(x+y-1\right)^2\)

Suy ra \(\left(x+y-1\right)^2< P< \left(x+y\right)^2\), vô lí vì P là SCP.

Vậy \(x=y\) (đpcm)

(Cơ mà nếu thay \(x=y\) vào P thì \(P=4x^2+1\) lại không phải là SCP đâu)

Áp dụng bđt Cô-si vào 2 số dương có:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\sqrt{xy}\ge4\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt{\sqrt{xy}}=2\sqrt{4}=4\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=4\)

`1/x+1/y>=2/(\sqrt{xy})`

`<=>1/2>=2/(\sqrt{xy})`

`<=>\sqrt{xy}>=4`

`=>\sqrt{x}+\sqrt{y}>=2.2=4`

Dấu "=" xảy ra khi `x=y=4`

Đề sai sai sao á trần quốc huy