\(A=x\cdot\left(2-x\right)\left[x^2+\left(2-x\right)^2\right]\)

\(=-2\left(x-1\right)^4+2\le2\)

\(A=xy.\left(x^2+y^2\right)=xy.\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]=4xy-2\left(xy\right)^2\)

Đặt\(xy=a\)

\(A=4a-2a^2=2-\left(2a^2-4a+2\right)=2-2.\left(a^2-2a+1\right)=2-2.\left(a-1\right)^2\le2\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(a-1=0\Rightarrow a=1\)

Hay \(xy=1\)

\(\Rightarrow x=\frac{1}{y}\)

Thay vào x+y=2 ta được

\(\frac{1}{y}+y=2\)

\(1+y^2-2y=0\)

\(y=1\)\(x=1\)

Vậy max A=2 khi x=y=1

Bài 1:

$xy+3=x+y$

$\Leftrightarrow xy-x-y+3=0$

$\Leftrightarrow x(y-1)-(y-1)+2=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(y-1)+2=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(y-1)=-2$
Vì $x,y$ nguyên nên $x-1, y-1$ nguyên. Khi đó:

$(x-1, y-1)=(2, -1), (-2, 1), (1, -2), (-1, 2)$
Đến đây bạn dễ dàng tìm được giá trị $x,y$ thỏa mãn.

Bài 2:

$x+y=3\Rightarrow y=3-x$. Khi đó:

$A=xy=x(3-x)=3x-x^2$

$-A=x^2-3x=(x^2-3x+1,5^2)-1,5^2=(x-1,5)^2-\frac{9}{4}\geq \frac{-9}{4}$

$\Rightarrow A\leq \frac{9}{4}$

Vậy $A_{\max}=\frac{9}{4}$