Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow\left(a+b\right)c=ab\Leftrightarrow ab-bc-ab=0\)

Hay \(ab-bc-ab+c^2=c^2\Leftrightarrow\left(b-c\right)\left(a-c\right)=c^2\)

Nếu \(\left(b-c;a-c\right)=d\ne1\Rightarrow c^2=d^2\left(loai\right)\)

Vậy \(\left(b-c;a-c\right)=1\Rightarrow c-b;c-a\) là 2 số chính phương

Đặt \(b-c=n^2;a-c=m^2\)

\(\Rightarrow a+b=b-c+a-c+2c=m^2+n^2+2mn=\left(m+n\right)^2\) là số chính phương

cho mình hỏi tại sao ở TH1: c^2=d^2 lại loại vậy ạ

Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương, ta có

\(A=xyz\le\frac{\left(x+y\right)^2z}{4}=\frac{\left(x+y\right)\left(100-z\right)z}{4}\) (Vì\(x+y+z=100\)

\(A\le\frac{\left(x+y\right)3\left(100-z\right)2z}{24}\le\frac{\left(x+y\right)\left(300-3z+2z\right)^2}{24}=\frac{\left(x+y\right)\left(300-z\right)^2}{96}\)

Mà \(z\ge60\) \(x+y+z=100\Rightarrow x+y\le40\)

\(\Rightarrow A\le\frac{40\left(300-60\right)^2}{96}=24000\) 

Dấu '=' xảy ra khi \(z=60;x=y=40\)

dòng cuối mình viết lộn nha \(x=y=20\) chứ

vs lại bạn viết nhầm, đáng ra phải là \(A\le2400\)mới đúng

nhưng thôi mk cx cứ tk cho bn nhé

cảm ơn bạn nhiều

Từ giả thiết, x+y=100-z\(\leq\)40

Theo BĐT Cô-si: \(3x.3y.z\le\left(\dfrac{3x+3y+z}{3}\right)^3=\left(\dfrac{2x+2y+100}{3}\right)^3\le\left(\dfrac{2.40+100}{3}\right)^3=216000\Rightarrow xyz\le24000\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=20 và z=60

Ko mất tính tổng quát, giả sử \(0< x\le y\le z\)

\(\Leftrightarrow xyz=x+y+z\le3z\\ \Leftrightarrow xyz-3z\le0\\ \Leftrightarrow z\left(xy-3\right)\le0\\ \Leftrightarrow xy\le3\)

Mà \(0< x\le y\Leftrightarrow xy>0\Leftrightarrow xy\in\left\{1;2;3\right\}\)

Với \(xy=1\Leftrightarrow x=y=1\Leftrightarrow z+1+1=z\left(\text{vô nghiệm}\right)\)

Với \(xy=2\Leftrightarrow x=1;y=2\left(x\le y\right)\)

\(\Leftrightarrow3+z=2z\\ \Leftrightarrow z=3\)

Với \(xy=2\Leftrightarrow x=1;y=3\left(x\le y\right)\)

\(\Leftrightarrow1+3+z=3z\\ \Leftrightarrow2z=4\\ \Leftrightarrow z=2\)

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;3\right)\) và các hoán vị